В данной работе методами теории несамосопряженных операторов изучаются некоторые классы неоднородных случайных полей, а именно, строится их корреляционная теория. Пусть (1Л. j.
К Ю.
— вероятностное пространство, Лмножество элементарных событий, V & - алгебра его подмножеств и Т* - вероятностная мера.
Как известно, если %(иэслучайное поле*), со? CL (ОСрСС^)? R^, такое, что.
М z (со^ ocuxL~) =r О j М 1&(со, ае^оел-)1Л<�о* для любых (х^ j сер? R2, то его можно рассматривать как поверхность в сепарабельном гильбертовом пространстве Hg. Н^ представляет собой линейную замкнутую оболочку случайных величин %(сс>, CC. J J, когда ос<, Ос^ пробегают Rj. Н^ является подпространством более широкого пространства:
LL (n)= Ь (О": (|35(СО-)^ V а*) <Соо] 1 л со скалярным произведением: fo., 2,) = я’Р&ЬО (0.1)СШ Л.
В этом случае корреляционная функция поля ^C^u^s.) представляет собой скалярное произведение в Н^: н*.
Ограничение двумерным случаем не является существенным. Все результаты могут быть непосредственно обобщены на пмерный случай.
Зависимость от со опускается). [4] 7 5] ¦
Вместе с корреляционной функцией в диссертационной работе вводятся и изучаются инфинитеземальные корреляционные функции (ДО).
Щъ «м*)=- Mi С t}=4J= о.
Однородные случайные поля, т. е. поля для которых корреляционная функция зависит лишь от разности аргументов:
0.3) хорошо изучены в рамках корреляционной теории случайных полей. Отметим, что для однородных случайных полей =.
0, поэтому когда ИКФ не равны нулю, их можно взять в качестве меры отклонения поля от однородного.
В работах? Z5], [Z3J получены спектральные представления однородных случайных полей и спектральные разложения их корреляционных функций:
R^ (0.4).
RL.
FO — конечная мера на б' -алгебре борелевских множеств в, % (•) — аддитивная случайная функция, заданная наалгебре борелевских множеств в и F^nsj.
Непрерьюные однородные поля допускают представление в пространстве н^.
V,*"' (0.5) где Ti^ ^ - двухпараметрическая группа унитарных операторов в Hg, Zq — фиксированная случайная величина из .
Используя спектральное разложение группы унитарных операторов в гильбертовом пространстве, легко получить спектральные представления (0.4).
В данной работе рассматривается класс линейно представимых случайных полей, т. е. класс случайных полей, которые допускают представление:
2 хД + гэе^.
О > где ^) $ 2. ~ линейные ограниченные коммутирующие несамосопряженные операторы в гильбертовом пространстве Н %, %0 — фиксированная случайная величина из Н^ • > •.
В работах J, [ 5″ J 7 [3 4 ] с помощью спектральной теории несамосопряженных операторов построена корреляционная теория линейно представимых случайных процессов: %(t)=z Q1 Z0, Л — линейный ограниченный несамосопряженный оператор в.
Hg? ? hl^ .
С помощью треугольных и универсальных представлений несамосопряженных операторов, был найден общий вид корреляционной функции в зависимости от спектральных свойств оператора j? Для линейно представимых случайных полей, кроме спектральных свойств операторов ^ и, играет роль и отношение между ними, а именно, свойства коммутаторов? J?2j }, Л2j • Использование результатов спектральной теории систем коммутирующих несамосопряженных операторов с к], га,[9], [ю]) позволяет исследовать некоторые классы неоднородных случайных полей.
В настоящей работе, при помощи треугольных и универсальных моделей систем коммутирующих операторов, изучаются некоторые классы неоднородных случайных полей.
В первой главе указывается связь корреляционной функции и ИКФ, рассматриваются некоторые примеры. Одним из главных результатов этой главы является критерий линейной представимости.
Теорема I.I. Для того, чтобы комплекснозначная функция i-u действительных переменных Ж (ос: у)? €>!)$? Q R. n могла быть представлена в виде: i Л об х>, у-)=(1ю ц .где i.(x)=e Я0, сi0CH — Лое = + +, и — линейные ограниченные коммутирующие операторы в гильбертовом пространстве Н «необходимо и достаточно, чтобы:
I. Функция ое, гр была эрмитово неотрицательна: для любых последоваlm=i jf тельностей векторов из JL f 02 • f. и комплексных чисел.
Л 1 Jim.
•F.
Z. Же.
Ц) была дважды непрерывно дифференцируемая. 3. Существовала такая константа со ju)> 0, что.
J& А i г Z-V^Kti • > л.
К" ^ <> { «п0СлеД0вательн0СТИ векторов из, ki^) { ^ ~ последовательности комплексных чисел о.
Пусть? неоднородное случайное поле. Рангом неоднородности называется максимальный ранг квадратичных форм ,.
-^т-у если он конечен.
Для линейно представимых случайных полей доказана следующая теорема о ранге;
Теорема 1.2. Для того, чтобы линейно представимое случай-нов поле acx,*i)=, где 20? Но, Н.= ИкЩ Л iJm^H и дважды перестановочные, было неоднородным ранга t, необходимо и достаточно, чтобы Н0 было конечномерным и cUm Н0 = ^ •.
В конце главы I предлагается классификация линейно представимых случайных полей с учетом спектра операторов Л^Л^ .
Если %(ос^зех)=: (z. Zq — линейно представимое случайное поле с 10? Н0, clwn. Н 0 = Ъ и операторы Jj, дважды перестановочны, то поле? принадлежит а) классу г. , если спектр каждого сосредоточен в нуле;
I/ W tt б) классу «если спектр каждого Л^ =) чисто дискретный, т. е. непрерывный спектр отсутствуетв) классу, если спектр J?^ сосредоточен в нуле и спектр Л^ чисто дискретный. ^ ^.
В главе П вычисляются ШВ полей классов К, , К и 1/И) ^ 22 члщ. Ш> имеет вид: где Ф (а41Я1)аа ь, А’М 1 Urn4 1= л — комплексное число, Я0 — действительное число. Функция имеет вид:
— 0 а) в случае, когда поле, ОСпринадлежит классу К.
0 О.
71- о О/) б) в случае, когда поле Z (j Х^) принадлежит классу К^ ф (Ч, хг)= ОчО («О > p-i 1 1 ^» i.
71 f~ гтп pf fM J—fT p f 1 — где в) в случае, когда поле? , ое^) принадлежит классу.
JV ^ fC = W О где Л^ и Оопределяются как в а) и б).
Одним из главных результатов главы П является теорема об универсальной модели систем дважды перестановочных операторов.
Теорема 2.1. Пусть Л (> -., Jn — система линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве и удовлетворяющих следующим условиям:
I. Операторы Лц попарно дважды перестановочны, т. е. Л^Лд = -t Л к Яд = (^ФЛ).
Kz Л, а,. • тО вполне несамосопряженные диссипатив-ные операторы.
3. Невещественный спектр каждого Л к, >. ., tl) может иметь предельные точки лишь в нуле.
4. Вещественный спектр каждого ,(/< =.
5. Резольвента сужения оператора J ^ на подпространство Hi/ е°ть функция экспоненциального типа от Л =, где к .С-о У.
П^ - ортогональное дополнение к линейной замкнутой оболочке всех инвариантных подпространств, отвечающих невещественным точкам спектра оператора пг.
К •.
6. clum МЛ =, Нл = П Н тогда систео j о ма операторов Д| - ^ .унитарно эквивалентна сужению на инвариантное относительно всех операторов Лр Л^ Л^ подпространство модельного пространства Н, системы операторов Л| 3 jl^ j. .- Jj, модельное пространство и модельные операторы определяются следующим образом:
Пусть о < А, < а* и о = '<. .<С*" е^ если JfK=« точки из интервала [0> -fr^ и т^(сс^) у • ¦ > 9С^*) комплексно-значная функция TL действительных переменных, где О, J причем, если зафиксировать координаты X^ то функция • • >ое^) ступенчатая, непрерывная слева в интервале [0 }, точки разрыва которой С5, i —. ,.
Пусть ju^ (х^) — ограниченная, неубывающаяступенчатая, непрерывная слева функция в интервале 0- fr^"), точки разрыва которой ггЛ,.. и скачок в точке cj^ равен i").
Рк)) Рк. С"к)г К0Гда? ««*] ' *.
Пространство Z- (ГТ {^0^ О.-J. ,-ju ^ определим как р ' совокупность комплекснозначных функций •?[Xj? ¦ ¦ .} X удовлетворяющих выше указанным условиям и для которых.
0 О.
Скалярное произведение определяется следующим образом: о 0.
После факторизации по ядру получается гильбертово пространство. Модельное пространство п определим как прямую сумму:
2 ^ V П.
П ГТ[0- к).
Ы 4 i-W у.
Модельные операторы определяются формулами:
Дс f l^r-^n) — чХп)} = К /. о.
Ок ак (я^ о на [ О) ступенчатая, непрерывная слева комплекснозначная функция, точки разрыва которой 1 = Jj.9Jf.
ДО * К и скачок в точке равен Лк, а на /ir^ - аК — 0 •.
При помощи теоремы об универсальной модели изучаются неоднородные поля конечного ранга и получены представления для их корреляционных и инфинитеземальных корреляционных функций.
В главе Ш при помощи дифференциальных уравнений в частных производных, связанных определенным образом с операторными узлами, строятся спектральные представления некоторых классов неоднородных поле^.
Пусть hi и с. гильбертовы пространства,.
J), ¦ ЛИ— И.
4 А, .^}Т}Т линейные ограниченные самосопряженные операторы действующие в.
Е и, наконец, ^ - линейный ограниченный оператор действующий из.
Н в Е .
Совокупность Л = называется операторным узлом J, если имеет место:
I. ЛД-ЛД z. 1 (4−0 = = г * *•.
3. tv = eivJFj.
4. f — Т = г).
Пусть, А = (Л 1 Jl операторный узел, > it (t^, t?) и ^(t,^*) -вектор-функции из Hj El и ЕГ соответственно.
Рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений ъ tj.
0.6) dtz с начальными данными: (0- Ь^) = -R^Ct^), =•.
Соотношения (0.6) и (0.7) определяют пару отображений, которую будем называть открытой системой ассоциированной с операторным узлом.
— HCt, to = ft.
Е13 j PL C-/7J •.
Используя операции сцепления и разложения для операторных узлов и опираясь на (0.6) и (0.7) получаем следующие две теоремы.
Теорема ЭЛ. Пусть & O-l > - линейно представимое случайное поле с операторами JL, и Л i, удовлетворяющими условиям:
1. Л и вполне несамосопряженные операторы.
2. Спектр каждого Л, (К= -1, 2.) сосредоточен в нуле. 3 тогда существует элементарная ортогональная стохастическая мера £(Д)" где, А — конечное или счетное объединение непересекающих прямоугольников, содержащихся в.
X [о, Pj —, ^<оо такая, что поле? (Х^, представляется в виде: f f (^A^^i^C^dU) 2).
Функция определяется из системы интегральнодифференциальных уравнений: г ^(^^.^л^^гЬ.^д.^г = о о к2 о f & А, 0, ®i) =? С ^i.*thf (ti, l2> ^ Ъ).
Теорема 3,2. Пусть? (х^ } - линейно представимое случайное поле и операторы и i?^ полные, диссипативные с конечномерными неэрмитовыми подпространствами, тогда имеет место представление: к foe, a*) =ZX С*J ^ > и У Г Г п=У1 М fii^ где И 5 = и (jj ^ ^ определяются из системы: ^ г + = g М on.
•^/e >(* K= Л, .) — собственные числа оператора, rt — 0* = • • ^-i.") — собственные числа оператора.
GO о ^.
— ортонормированный базис в подпростран.
00 — - ^ стве ч.
СЮ.
О ОС j.
J (о) «(*к = т .
.
I f л.
1 г > ¦) — последовательность собственных чисел оператора J/y ;
V • • А*) последовательность собственных чисел ^ ^ оператора ;
J of=4 — ортонормированный базис в подпространстве Н^ = 1 Ут Д Hg .
В главе 1У обобщается понятие линейной представимости для случайных полей. Будем говорить, что поле) является линейно представимым, если существует сильно непрерывная двухпараметрическая полугруппа операторов ТО-*, а?*) в Hz., и % CEji, гдефиксированная случайная величина из Н^ .
Рассматривается лишь случай, когда сжимающая полугруппа:
ЦТ^а^Н < А.
Полугруппу ое^можно записать в виде: т со ОО где — Т 0). Т^=Т (0, -pGO.
Очевидно — (к — сильно непрерывные коммутирующие с сжимающие полугруппы операторов в Н^ с инфинитеземальными, вообще говоря, неограниченными, производящими операторами.
При помощи спектрального анализа неограниченных несамосопряженных операторов и их приведения к треугольному виду ([8] > [9], [зад*]) изучаются некоторые классы линейно представимых случайных полей и вычисляется их корреляционная функция. Доказаны следующие две теоремы:
Теорема 4.3. Пусть задано линейно представимое случайное.
— г—(К) поле / I %0, где Iполугруппы операторов с инфинитеземальными производящими операторами (и.п.о.) гЛк =. • Если и.п.о. J/fc удовлетворяют условиям: а) Д, } Л^ дважды перестановочны, простые диссипативные операторыб) За и 4 а имеют чисто дискретный спектрв) точки 1 иi — регулярные, как для, так и для Jf^ ;
D си садпвдь^,*,.
— i.
Я&trade- + 1 irA j = то корреляционная функция поля? fcc^ ,) имеет вид:
A3 tfO о о где t .
Эх9 dJCjdXg оо ос jl-'f I I л0) л (1).
— УЬ^и имеют вид:
АрЧИ b егЫ<
21ri frO V г—f.
— ft — произвольный замкнутый контур, расположенный в верхней полуплоскости и содержащий jд^' j ftC.
— последовательность точек спектра сужения оператора if, на подпространстве Н^ = Hg.
Aj f*i)=.
Г2) при tf1. cj — произвольный замкнутый контур, расположен.
Л ный в верхней полуплоскости и содержаний Ж.
Is*.
У г последовательность точек спектра сужения оператора на подпространстве Н^ - В^ Н^ CD? i п (1). М.
Теорема 4.5. Пусть задано линейно представимое случайное поле z0 где — полугруппы операторов с и.п.о. г <11 ^ /Kir 4,1) и t0 & Djf^ Л Если и J?^ удовлетворяют условиям:
1. Hj и дважды перестановочны, простые диссипативные операторы;
2. и ^ не имеют точек спектра в конечной части плоскостиucinji-1)H. ncvOH, = со то корреляционная функция поля? (Х^, ОС^ «) имеет вид:
О- —(w если ^ ®.
О при прочих С ^ - ^ ^ - f V-/ '.
Функции ° (^-) абсолютно непрерьгоны относительно к, и fc,. в ® = [0,aJx[0,at]H К.
В главе У рассматриваются некоторые обобщения и дополнения. Вычисляется корреляционная функция линейно представимых случайных полей ясх^ье1^^^ для которых операторы Л| и £у Нг] коммутируют, но не дважды перестановочны, при предположении, что коммутатор [ Л^ - Лр одномерный и некоторых других предположениях. Изучаются линейные преобразования однородных случайных полей.
Поле? (ос, > эсг) <£о называется равномерно ограниченным линейно однородным (р.о.л.о.), если существует константа оа С 0 такая, что.
17L И. ? о <
4"-/ /с—/ 1 ж т.
ОМ ЦИ^^л) для произвольных.
Для р.о.л.о. полей доказана следующая теорема Теорема 5.5. Пусть X (X^f — р.о.л.о. случайное поле, тогда существуют однородное случайное поле у (ty) oct) и линейный ограниченный самосопряженный оператор В в Н^ с ограниченным обратным В такие, что.
X (Zj>ocz) = б у (x^acg.).
Случайное поле? называется дилатациейt -ого ранга случайного поля? (X^jX^l, если существует линейный ограниченный оператор В в Hg. такой, что ('ос^, =.
В & (сс^ -ЭС£) и (Ai/m. С J В*В) Н • Найдены необходимые и достаточные условия для того, чтобы заданная функция.
ЗС (СС-1 — ^,) была корреляционной функцией дилата-цииого ранга однородного линейно представимого случайного поля.
В конце главы У вычисляется корреляционная функция случайных полей вида: где — р (<�СЯ) ^ В — линейный ограниченный оператор в Hgтакой, что.
Б, Лк] = «к$к + ?к&- > т. е. В образует с каждым оператором J?^ •>(!?= Л, ?) алгуб-ру Ли.
В данной работе внутри глав принята сквозная нумерация теорем, лемм и формул, в которой первое число указывает номер главы, а второе — соответствующего утверждения главы.
Настоящая работа выполнена в Харьковском государственном университете им. А. М. Горького. Основные результаты опубликованы в работах ?3 8J и докладывались на конференциях преподавателей и сотрудников Харьковского университета и на семинаре по теории линейных операторов при Харьковском университете.
ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ, ВЫНЕСЕННЫЕ НА ЗАЩИТУ:
1. Теорема о линейной представимости для случайных полей.
2. Теорема о ранге.
3. Универсальная модель систем коммутирующих операторов со спектром в нуле и общий вид Ш соответствующих линейно представимых случайных полей.
4. Универсальная модель систем коммутирующих операторов с чисто невещественным спектром и общий вид КФ соответствующих линейно представимых случайных полей.
5. Спектральные разложения линейно представимых случайных полей конечного ранга неоднородности.
6. Линейно предетавимые случайные поля с неограниченными операторами.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доценту Артему Артемовичу Янцевичу за постоянное внимание и помощь при выполнении работы.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Связь между спектральной теорией систем самосопряженных коммутирующих операторов и теорией однородных полей (или по лей с однородными прирашениями) общеизвестна. В диссертации была предпринята попытка установить связь между спектральной теорией несамосопряженных операторов и теорией неоднородных случайных полей.
1.
Введение
понятия линейно представимого поля позволяет установить тесную связь между построением корреляционной и спектральной теорий такого поля и спектральной теорией систем коммутирующих несамосопряженных операторов в гильбертовом пространстве.
ВО U о диссертации дан критерии линеинои представимости, т. е. найдены необходимые и достаточные условия которым должна удовлетворять К. Ф некоторого случайного поля для того, чтобы данное поле было линейно представимым. Этот критерий является аналогом теоремы Бокнера-Хинчина о представлении эрмитово неотрицательной функции, которая используется в спектральой теории однородных случайных полей.
2.Для описания отклонения поля от однородного вводятся новые характеристики: ИКШ и ранг неоднородности, с помощью которых удалось исследовать структурунеоднородности случайных полей. Доказанная в диссертации теорема о ранге устанавливает связь между рангом неоднородности и размерностью неэрмитово подпространства систем соответствующих операторов. В случае конечного ранга эти величины сов—падают.Понятие ранга позволило дать классификацию неоднородных случайных полей.
3.Методика построения корреляционной и спектральной теорий линейно представимых случайных полей основана на треугольных и универсальных моделях систем коммутирующих несамосопряженныхоператоров. Эти модели строятся при некоторых предположенияхо спектральных свойствах операторов, фигурирующих в представлении линейно представимого случайного поля. В диссертации исследования ведутся для некоторых классов линейно представимых случайных полей, причем, классификация прозводится именно по спектральным свойствам соответствующих операторов. Для этих классов найдены спектральные представления и спектральные разложения соответствующих КФ.
4.Рассматривается обобщение понятия линейно представимости на случай, когда операторы, фигурирующие в представлении поля, неограниченны. Использование треугольных и универсальных моделей для систем таких операторов дает возможность исследовать некоторые более широкие классы линейно представимых случайных полей.
5.Рассматриваются некоторые линейные преобразования линейно представимых случайных полей и строятся спектральные разложения их Ш.
Неоднородные поля рассмотренных классов можно использовать при решении некоторых задач фильтрации случайных полей на фоне помех. Следует отметить, что развитые в диссертации спектральная и корреляционная теории неоднородных случайных полей можно применить для построения конкретных моделей неоднородных случайных полей. Например, модели неоднородных случайных полей возникают при изучении рассеяния электро-магнитных волн от морской поверхности вблизи островов, берега или других неоднородностей.
Построение треугольных и универсальных моделей для других классов систем коммутирующих несамосопряженных операторов позволить получить аналогичные результаты для соответствующих классов линейно представимых случайных полей. Например, можно рассматривать систем операторов с вещественным спектром. Результаты работы могут быть продолжены в направлении построения как спектральной так и корреляционной теорий случайных полей класса К^т.е. когда соответству L гощих операторы коммутируют, но не дважды перестановочны, причем.