Структура обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби-Беллмана и квазилинейных уравнений

Общая характеристика работы.

Диссертация посвящена исследованию структуры и связей обобщенных решений в задаче Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана и квазилинейного уравнения первого порядка. Изучена роль классических характеристик этих уравнений в конструкциях обобщенных решений. Рассмотрены приложения полученных теоретических результатов к решению задач оптимального управления.

Актуальность темы

.

При описании большого числа физических процессов возникают нелинейные уравнения в частных производных первого порядка. Одним из таких уравнений является уравнение Гамильтона— Якоби, решения которого используются при описании движения тел в рамках классической механики. Существует тесная связь уравнений типа Гамильтона—Якоби с задачами динамической оптимизации, которые рассматриваются в вариационном исчислении, в теории оптимального управления и дифференциальных играх. Для задачи динамической оптимизации определена функция цены, которая каждому начальному состоянию динамической системы ставит в соответствие оптимальное значение функционала платы. Функция цены, как правило, негладкая, но в точках дифференцируемости удовлетворяет соответствующему уравнению Гамильтона— Якоби.

Для описания поведения сплошной среды теоретическая физика использует различные модели, которые также приводят к нелинейным дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. Например: уравнение эйконала в геометрической оптике, транспортное уравнение, уравнение Эйлера для идеальной несжимаемой жидкости. В газовой динамике большое количество процессов описывается квазилинейными уравнениями, которые являются следствиями физических законов сохранения массы, энергии, импульса. Законы сохранения применимы не только к дифференцируемым функциям, описывающим поведение физической величины (например, скорости течения газа), но и к негладким и разрывным функциям.

Классическим решением уравнения в частных первого порядка называется непрерывно дифференцируемая функция, которая удовлетворяет этому уравнению во всех точках области определения. Одним из методов построения единственного классического решения краевой задачи для уравнения в частных производных первого порядка является метод характеристик Коши (см., например, [66]), согласно которому отыскание классического решения сводится к решению специальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений, построенной по уравнению в частных производных первого порядка. Такая система дифференциальных уравнений называется гамильтоновой или характеристической, а ее решения — характеристиками. Метод Коши обнаружил, что классическое решение нелинейного уравнения в частных производных первого порядка существует, как правило, локально в окрестности заданного гладкого начального многообразия.

Однако в математических моделях, описывающих физические процессы, существует потребность изучения негладких и разрывных функций, которые определены глобально, удовлетворяют уравнениям в частных производных первого порядка в точках дифференцируемости, и их графики проходят через краевое многообразие. Такими функциями являются, например, функция цены в задаче динамической оптимизации для уравнения Гамильтона—Якоби, фронт световой волны для уравнения эйконала, эволюция поля скоростей невзаимодействующих частиц в одномерной среде для уравнение Бюргерса. Для корректного описания таких функций требуется понятие обобщенного решения уравнения в частных производных.

Большой прогресс в развитии теории обобщенных решений уравнений в частных производных был достигнут в 50-е 60-е годы XX века. Существенные результаты были получены в работах O.A. Олейник [75], A.M. Ильина [38], O.A. Ладыженской [143], Б. Л. Рождественского [64], H.H. Яненко [88], Н. С. Бахвалова [10], С. К. Годунова [26], А. Н. Тихонова [107], A.A. Самарского [108], С. Л. Соболева [90], Е. Hopf [140], P. Lax [142], W. Fleming [134], С.М. Dafermos [130].

Основные подходы, которые использовались при введении понятия обобщенного решения базировались либо на методе исчезающей вязкости, либо на обобщениях метода характеристик Коши, либо на интегральных и вариационных методах, привлекавших понятие обобщенных функций и обобщенных производных, а также на численных аппроксимациях.

В 70-е годы развитие аппарата негладкого анализа позволило существенно продвинуть теорию обобщенных решений уравнений в частных производных. Большой вклад в развитие негладкого анализа внесли работы F. Н. Clarke, который ввел понятие субградиента. Другие типы субградиентов ввели в своих работах R.T. Rockafellar, Б. Ш. Мордухович. Существенную роль в развитии негладкого анализа сыграли Б. Н. Пшеничный, В. Ф. Демьянов.

В 60-е-70-е годы С. Н. Кружковым [61], [62] было предложено понятие энтропийного решения для квазилинейного уравнения, сочетающего интегральный подход к определению обобщенного решения с конечно-разностным и опирающегося на аппарат выпуклого анализа. Для выделения содержательного единственного решения С. Н. Кружков ввел интегральное условие неубывания энтропии. Это условие показывает возможное направление быстрого изменения обобщенного решения. В дальнейшем этот подход был развит в работах Е. Ю. Панова, А. Ю. Горицкого, Г. А. Чеч-кина, Н. С. Петросян, Ph. Benilan.

В начале 80-х годов G. Crandall и P.L. Lions [128] ввели понятие вязкостного решения уравнения в частных производных первого порядка. Определение вязкостного решения базируется на локальных гладких выпуклых и вогнутых аппроксимациях обобщенного решения. Термин «вязкостные решения» был использован потому, что для доказательства существования этого решения авторы использовали метод исчезающей вязкости. Авторы показали, что результат предельного перехода от последовательности решений уравнений с частными производными 2-го порядка параболического типа с малым коэффициентом при операторе Лапласа (с малой вязкостью) удовлетворяет их определению обобщенного решения. Иифинитезимальная форма определения вязкостного решения использует понятия суби супердифференциалов из негладкого анализа.

В теории вязкостных решений были доказаны теоремы существования и единственности обобщенного решения для различных типов краевых задач. Предложены конструктивные и численные методы решения этих задач. Большой вклад в исследование вязкостных решений внесли работы L. Evans, W. Fleming, Н.М. Soner, R. J. Elliott, N. J. Kalton, M. Bardi, I. Capuzzo-Dolcetta, M. Falcone, H. Ishii, E.N. Barron, R. Jensen, P. Cannarsa, H. Frankowska, P. Souganidis, G. Barles, В. Perthame.

В начале 80-х годов А. И. Субботиным [94] был предложен минимаксный подход к построению обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка. Термин «минимаксное решение» отражает истоки этой теории в формализации позиционной дифференциальной игры, развитой в школе H.H. Красовского [59]. Согласно минимаксному подходу график обобщенного минимаксного решения слабо инвариантен относительно комплексов гамильтоновых характеристических дифференциальных включений, определяемых аксиоматически [92], [91]. Решения характеристических дифференциальных включений называются обобщенными характеристиками. Определение минимаксного решения говорит о том, что в его графике выживают обобщенные характеристики. Инфинитизимальная форма определения минимаксного решения опирается на пару дифференциальных неравенств, использующих верхние и нижние полупроизводные Дини.

В теории минимаксных решений получены теоремы существования и единственности минимаксного решения различных типов краевых задач, предложены аналитические, конструктивные и численные методы решения этих задач. Развиты приложения этой теории к решению задач оптимального управления и дифференциальных игр. Установлена эквивалентность вязкостного и минимаксного определений обобщенных решений уравнения Гамильтона—Якоби. Существенный вклад в развитие теории минимаксных решений внесли работы В. Н. Ушакова, A.M. Тарасьева, B.C. Пацко, Н. Ю. Лукоянова, С. А. Брыкалова, H.H. Субботиной, Х. Г. Гусейнова, В.Я. Джа-фарова, A.A. Успенского, С. И. Кумкова, А. Ф. Клейменова, Л. Г. Шагаловой, A.C. Лахтина и их учеников.

Отметим, что различные обобщения гамильтоновой характеристической системы играют все большую роль в современных исследованиях задач динамической оптимизации и краевых задач для соответствующих уравнений типа Гамильтона—Якоби. Новые подходы к понятию характеристики уравнения Гамильтона—Якоби предложены в работах А. Б. Куржанского, В. И. Благодатских, A.A. Толстоногова, С. М. Асеева, Ю. С. Ледяева, A.A. Меликяна, А. И. Булгакова, J.P. Aubin, F.H. Clarke, G. Haddad.

Для построения обобщенного решения уравнения Гамильтона—Якоби— Беллмана в работах F. Clarke, H.H. Субботиной, A.C. Братуся, А.И. Овсе-евича, A.A. Меликяна были предложены конструкции, опирающиеся на классические характеристики этого уравнения.

O.A. Олейник, И. М. Гельфанд, H.H. Яненко, Б. Л. Рождественский, H.H. Кузнецов использовали классические характеристики для построения обобщенного решения квазилинейного уравнения.

Еще одним методом построения обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения является метод потенциала, который заключается в интегрировании входных данных исходной задачи по фазовым переменным и переходе к задаче Коши для соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби. Решение новой задачи называется потенциалом решения задачи Коши для квазилинейного уравнения. Метод потенциала описан в работах [88], [64] для случая, когда фазовая переменная одномерна и соответствующий гамильтониан является выпуклым или вогнутым, но импульсной переменной. Показано, что потенциал является непрерывной функцией, которая находится с помощью обобщенного метода характеристик уравнения Гамильтона—Якоби. Обобщенное решение задачи Коши для квазилинейного уравнения совпадает с производной потенциала по фазовой переменной почти всюду.

Применяя методы вариационного исчисления для решения задачи Коши уравнения в частных производных первого порядка, P. Lax и Е. Hopf обосновали формулу для вычисления обобщенного уравнения Гамильтона—Якоби с гамильтонианом, выпуклым (вогнутым) по сопряженной переменной и зависящим только от нее. Аналогичную формулу получила O.A. Олейник для обобщенного решения квазилинейного уравнения.

Найти аналитическое решение для уравнения в частных производных первого порядка возможно, как правило, только в частных случаях. Поэтому для построения обобщенных решений этих уравнений активно применяют и разрабатывают численные методы [26], [10], ]81], [106], [148], [119].

Описание структуры и связей обобщенных решений различных типов уравнений в частных производных первого порядка и исследование роли классических характеристик в конструкциях этих решений остаются актуальными задачами теории обобщенных решений.

Исследования обобщенных решений уравнений в частных производных первого порядка важны сами по себе, а также они полезны для приложений к решению задач динамической оптимизации.

Одним из разделов динамической оптимизации является теория оптимального управления, восходящая к работам J1.C. Понтрягина [85],.

B.Г. Болтянского, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко, R. Isaacs [2], R. Bellman [11], H.H. Красовского [58], W.H. Fleming, A. Fridmaii [135].

В настоящее время теория оптимального управления получила мощное развитие и имеет многочисленные практические применения. Фундаментальный вклад в развитие этой теории внесли H.H. Моисеев [71], Ф.Л. Чер-иоусько [114=|, Д. В. Аносов [6], В. И. Арнольд [7], В. А. Якубович [116], Ю. С. Осипов, A.B. Куржанский, А. И. Субботин, А. В. Кряжимский, L.D. Berkovits, А.Е. Bryson, G. Leitman, Y.-C. Но, J. Warga, R.J. Elliott, N.J. Kaiton.

Существенное развитие теория получила в работах В. И. Зубова, В. Ф. Кротова, Ф. М. Кирилловой, Р. Ф. Габасова, A.A. Меликяна, A.A. Чикрия,.

C.М. Асеева, В. Н. Ушакова, А. Г. Ченцова, A.A. Аграчева, Л.Д. Акулсн-ко, A.B. Арутюнова, В. И. Благодатских, Ф. П. Васильева, Н.Л. Григорен-ко, А. Я. Дубовицкого, A.A. Милютина, М. С. Никольского, Л. А. Петросяиа, В. М. Тихомирова, М. И. Зеликина, А. Д. Иоффе, Ю. С. Ледяева, A.B. Дмитрука, В. Г. Гайцгори, М. Г. Дмитриева, Е. Л. Тонкова, Г. А. Куриной, Э. Г. Альбрехта, Т. Ф. Филипповой, М. И. Гусева, В. И. Максимова, А. И. Короткого, Е. К. Костоусовой, С. Т. Завалищина, А. Н. Сесекина, О. И. Никонова и их учеников.

Как хорошо известно, функция цены задачи оптимального управления совпадает с единственным минимаксным/вязкостным решением краевой задачи для уравнения Гамильтона—Якоби— Беллмана [91], [128]. Функция цены определяет оптимальный результат для начального состояния управляемой системы. Кроме того, функция цены играет ключевую роль в построении оптимальных и почти оптимальных способов управления по принципу обратной связи.

Основополагающее значение в теории оптимального управления играет принцип максимума Л. С. Поитрягина — необходимое условие оптимальности. Гамильтонова форма этих условий [125], [145], |96] связывает экстремали и коэкстремали задачи оптимального управления с характеристиками уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана.

Актуальным и полезным является исследование приложений теории обобщенных решений уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана для численного решения задачи оптимального управления.

Цель работы.

Исследование структуры минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби-—Беллмана, описание множества сингулярности (множества точек недифференцируемости) минимаксного решения, описание связи между минимаксным решением и обобщенным решением задачи Коши для квазилинейного уравнения. Исследование роли классических характеристик в конструкциях этих решений. Приложение теории обобщенных решений уравнений Гамильтона— Якоби—Беллмана для численного решения задачи оптимального управления с терминальным функционалом платы.

Методы исследования.

Исследования данной работы опираются на обобщение метода характеристик Коши, аппарат негладкого анализа, методы теории управления, теорию дифференциальных включений, теорию многозначных отображений и теорию инвариантности.

Научная новизна.

Описана структура графика минимаксного решения задачи Коши для уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана в терминах классических характеристик этого уравнения.

Введено новое понятие глобального обобщенного решения задачи Коши для одномерного квазилинейного уравнения в терминах классических характеристик и получена его репрезентативная формула. Показано, что потенциалом для глобального обобщенного решения квазилинейного уравнения является минимаксное решение соответствующего уравнения Гамильтона—Якоби—Беллмана. Описана структура множества сингулярности минимаксного решения в терминах классических характеристик уравнения Гамильтона—Якоби и линий Ранкина—Гюгонио.

Предложены новые достаточные условия существования программного оптимального управления в задаче управления с терминальной платой.

Разработана новая процедура численного построения оптимального программного управления с помощью попятного интегрирования гамильто-новой характеристической системы для уравнения Гамильтона—Якоби — Беллмана, и получены оценки аппроксимации оптимального результата.

Теоретическая и практическая значимость.

В работе исследована роль классических характеристик для теории обобщенных решений уравнений Гамильтона—Якоби и квазилинейных уравнений.

Предложены репрезентативные формулы обобщенных решений, описана структура множества сингулярности минимаксного решения в терминах классических характеристик.

Выявлено свойство инвариантности графиков обобщенных решений относительно гамильтоновых систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Это свойство позволяет разрабатывать новые эффективные методы построения обобщенных решений и обоснования этих конструкций.

Рассмотрены приложения полученных результатов для решения задач оптимального управления с терминальным функционалом платы. Предложен и обоснован численный метод построения оптимального программного управления, опирающийся на гамильтопову форму необходимых и достаточных условий оптимальности. Проведены численные расчеты для ряда модельных примеров.

Апробация работы.

Основные результаты диссертации докладывались на российских конференциях: 39−41-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2008, 2009,2010), научной конференции-семинаре «Теория управления и математическое моделирование», посвящённая памяти Н. В. Азбелева (Ижевск, 2008), IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006), международных конференциях: «Теория управления и теория обобщенных решений уравнений Гамильтона-Якоби» (Екатеринбург,.

2005 г.), «Устойчивость, управление и моделирование динамических систем», посвященного 75-летию И. Я. Каца (Екатеринбург, 2006), «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления» (Москва, 2008), «Динамические системы: устойчивость, управление, оптимизация» (Минск, 2008), «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященная 70-летию В. А. Садовничего (Москва, 2009), международной конференции по математической теории управления и механике (Суздаль, 2009), «Актуальные проблемы теории устойчивости и управления» (Екатеринбург, 2009), международной научной конференции, посвященной 105-летию С. М. Никольского, «Современные проблемы анализа и преподавания матема-тики» (Москва, 2010), XII International Symposium on Dynamic Games and Applications, (SophiaAntipolice, 2006), 13-th International Workshop IFAC on Control Applications of Optimization (Paris, 2006), X IFAC Workshop on Control Applications of Optirnization (Jyvaskyla, 2009), а также на семинарах отдела динамических систем ИММ УрО РАН и кафедры системного анализа ВМиК МГУ.

Публикации.

Материал диссертации опубликован в двадцати семи работах. Из них 4 публикации в изданиях из списка ВАК ([55], [56], [99], [101]), 2 публикации в иностранных журналах ([152], [153]), 6 публикаций в рецензируемых российских сборниках и журналах ([51]-[54], [100]) и 15 тезисов докладов ([44Н50], [102]—[105]).

Структура и объем работы.

Диссертация состоит из введения, 4 глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы. Нумерация глав, параграфов и утверждений сквозная. Нумерация формул тройная. Объем работы 121 страница, включая 9.

1. Аграчев A.A., Сачков Ю. Л., Геометрическая теория управления. М.: Физматлит. 2005. 392с.

2. Айзеке Р., Дифференциальные игры. М.: Мир. 1967. 479с.

3. Акулепко Л. Д., Асимптотические методы оптимального управления. М.: Наука. 1987. 366 с.

4. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В., Оптимальное управление. М.: Наука. 1979. 430 с.

5. Альбрехт, Э. Г., Построение приближенных решений некоторых квазилинейных дифференциальных игр // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2000, Т. 6, Ж, С. 27−38.

6. Аносов Д. В., О предельных циклах систем дифференциальных уравнений с малым параметром при старших производных // Матем. сборник, 1960. Т. 50, № 3. С. 299 -334.

7. Арнольд В. И., Математические методы классической механики. М.: Наука. 1974. 416 с.

8. Арутюнов A.B., Асеев С. М., Принцип максимума для дифференциальных включений с фазовыми ограничениями // Докл. РАН., 1994, Т. 334, т. С. 134−137.

9. Барбашин Е. А., Введение в теорию устойчивости. М.: Наука. 1967. 224 с.

10. Бахвалов Н. С., Численные методы. Анализ, алгебра, обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука. 1975. 631 с.

11. Беллман Р., Динамическое программирование. М.: И.л. 1960. 400 с.

12. Благодатских В. И., Филиппов А. Ф., Дифференциальные включения и оптимальное управление // Труды Матем. института им. Стеклова., 1985. Т.169. С. 194−252.

13. Блехман И. И., Вибрационная механика. М.: Физматлит. 1994. 400 с.

14. Болтянский В. Г., Математические методы оптимального управления. М.: Наука. 1966. 308 с.

15. Брайсон А., Хо Ю-ши, Прикладная теория оптимального управления. М: Мир. 1972. 544 с.

16. Братусь A.C., Волосов К. А., Точные решения уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана для задач оптимальной коррекции с интегральным ограничением на суммарный ресурс управления // Докл. РАН, 2002. Т. 358. № 3. С. 319−322.

17. Брыкалов С. А., Существование решения, удовлетворяющего дифференциально-функциональному уравнению почти всюду // Изв. вузов. Матем., 1983. № 3. С. 22−30.

18. Васильева А. Б., Бутузов В. Ф., Асимптотические методы в теории сингулярных возмущений. М: Высшая школа. 1990. 208 с.

19. Варга Дж., Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977. 624 с.

20. Владимиров B.C., Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 512 с.

21. Габасов Р. Ф., Кириллова Ф. М., Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1971. 508 с.

22. Гайцгори В. Г., Управление системами с быстрыми и медленными движениями. М.: Наука. 1991. 224 с.

23. Галкин В. А., Метрическая теория функциональных решений задачи Коши для системы законов сохранения // Докл. Академии наук, 2010. Т. 431, № 3. С. 298−300.

24. Гамкрелидзе Р. В., Основы оптимального управления. Тбилиси: Изд.-во Тбилисского университета. 1975. 256 с.

25. Гелъфанд И. М., Некоторые задачи теории квазилинейных уравнений // Успехи матем. наук, 1959. Т. 14. № 2. С. 87—158.

26. Годунов С. К., Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.

27. Горицкий А. Ю., Кружков С. Н., Чечкин Г. А., Квазилинейные уравнения с частными производными первого порядка: обобщенные решения, ударные волны, центрированные волны разрежения. М.: Издательство МГУ. 1994. 96 с.

28. Григоренко И. J1., Дифференциальные игры преследования несколькими объектами, М.: Издательство МГУ. 1983. 79 с.

29. Гусев М. И., Куржанский А. Б., К оптимизации управляемых систем при наличии ограничений // Дифференц. уравнения, 1971. Т. 7. № 9. С. 1591 1602.

30. Данилин А. Р., Аппроксимация сингулярно возмущенной эллиптической задачи оптимального управления // Матем. сб., 2000. Т. 191. № 10. С. 3−12.

31. Демьянов В. Ф., Рубинов A.M., Основы негладкого анализа и квазидифференциальное исчисление. М.: Наука. 1990. 432 с.

32. Дмитриев М. Г., Теория сингулярных возмущений и некоторые задачи оптимального управления // Дифференц. уравнения., 1985, Т. 21, №.10, С. 1693−1698.

33. Дубовицкий А. Я., Милютин, A.A. // Задачи на экстремум при наличии ограничений, Докл. АН СССР.1963. Т. 149. № 4, С.759−762.

34. Завалищин С. Т., Сесекин А. Н., Импульсные процессы. Модели и приложения. М.: Наука. 1991. 256 с.

35. Зеликин М. И., Оптимальное управление и вариационное исчисление. М.: Наука. 1985. 160 с.

36. Зубов В. И., Лекции по теории управления. М.: Наука. 1975. 496 с.

37. Ильин A.M., Пограничный слой // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные исследования, 1988, Т.34. С. 175−214.

38. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A., Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук, 1962, Т. 17, № 3. С. 3−146.

39. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М., Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.

40. Кларк Ф., Оптимизация и негладкий анализ. М.: Наука. 1988. 280 с.

41. Колмогоров А. Н., Фомин C.B., Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1968. 496 с.

42. Колпакова Е. А., Метод резонансных откликов в задаче оптимального управления быстрым осциллятором // Аннотации докладов IX Всероссийского съезда по теоретической и прикладной механике, 2006. Т. 1. С. 69.

43. Колпакова Е. А., Метод характеристик в численном решении оптимизационных задач вибрационной механики // Вестник Тамбовскогоуниверситета. Серия: естественные и технические науки, 2007. Т. 20, вып.4, С. 469−470.

44. Колпакова Е. А., Субботина H.H., Анализ численного решения задач вибрационной механики с помощью метода характеристик // Сборник тезисов X международного семинара «Устойчивость и колебания нелинейных систем управления», 2008. С. 291−292.

45. Колпакова Е. А., Обобщенный метод характеристик в теории уравнений Гамильтона Якоби и законов сохранения // Труды Института, математики и механики УрО РАН, 2010, Т. 16, № 5. Доп. номер. С. 95 102.

46. Колпакова Е. А., Субботина H.H., Численное решение оптимизационных задач вибрационной механики с помощью метода характеристик // Прикладная математика и механика, 2010, Т. 74, вып. 5. С. 832−839.

47. Колпакова Е. А., Об определении класса оптимального управления с помощью метода харктеристик // Вестник Удмуртского университета «Математика. Механика. Компьютерные науки», 2008, вып. 2. С. 5960.

48. Короткий А. И., Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Изв. АН СССР, Технич. кибернетика, 1991. № 2, С. 154−164.

49. Красовский H.H., Теория управления движением. М.: Наука. 1968. 475 с.

50. Красовский H.H., Субботин А. И., Позиционые дифференциальные игры. М.: Наука. 1974. 455 с.

51. Кротов В. Ф., Гурман В. И., Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука. 1973. 448 с.

52. Кружков С. И., К методам построения обобщенных решений задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка // Успехи мат. наук, 1965. Т. 20. № 6. С. 112−118.

53. Кружков С. Н., Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными // Мат. сб., 1970. Т. 81, № 2. С. 228 255.

54. Кряжимский A.B., Осипов Ю. С., Метод экстремального сдвига и задачи оптимизации // Труды Иститута математики и механики УрО РАН, 2004. Т. 10, № 2. С.83−105.

55. Кузнецов H.H., Рождественский Б. Л., Построение обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения // Успехи мат. наук, 1959. Т. 14. № 2(86). С. 211−215.

56. Куржанский A.B., Филиппова Т. Ф., Дифференциальные включения с фазовыми ограничениями. Метод возмущений // Тр. МИАН, 1995. Т. 211. С. 304−315 .

57. Курант Р., Уравнения с частными производными. М.: Мир. 1964. 832 с.

58. Лахтин А. С., Субботин А. ИМногозначные решения уравнений с частными производными первого порядка // Матем. сб., 1998. Т. 189, № 6. С. 33−58.

59. Лукоянов Н. Ю., Стратегии прицеливания в направлении инвариантных градиентов // Прикладная математика и механика, 2004. Т.68, т. С.629−643.

60. Моисеев H.H., Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука. 1971. 424 с.

61. Мордухович Б. Ш., Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука. 1988. 360 с.

62. Никольский М. С., Нестационарные линейные дифференциальные игры // Кибернетика, 1970, № 1, С.98−102.

63. Овсеевич А. И., Локальный принцип Беллмана в задачах оптимального управления // Известия АН СССР. Техническая кибернетика, 1981. № 4. С. 3−9.

64. Олейиик O.A., О задаче Коши для нелинейных уравнений в классе разрывных функций // Докл. Акад. наук СССР, 1954. Т. 95. С. 451 454.

65. Олейник O.A., Задача Коши для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка с разрывными начальными условиями // Труды московского математического общества, 1956. Т. 5. С. 433−454.

66. Олейиик O.A., Разрывные решения нелинейных дифференциальных уравнений // Успехи матем. наук, 1957. Т.12, № 3. С. 3−73.

67. Олейник O.A., О построении обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка путем введения «исчезающей вязкости» // Успехи мат. наук, 1959. Т. 14. № 2. С. 159−164.

68. Осипов Ю. С., К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // Докл. АН СССР, 1975. Т. 223. № 6. С.1314−1317.

69. Панов Е. Ю., О единственности решения задачи Коши для квазилинейного уравнения первого порядка с одной допустимой строго выпуклой энтропией // Математические заметки, 1994. Т. 55, вып. 5. С. 116−129.

70. Пацко В. С., Поверхности переключения в линейных дифференциальных играх // Современная математика и ее приложения, Тбилиси, 2005. Т. 23, С. 79−122.

71. Первозванский A.A., Гайцгори В. Г., Декомпозиция, агрегирование и приближенная оптимизация. М.: Наука. 1979. 342 с.

72. Петровский И. Г., Лекции по теории обыкновенных дифференциль-ных уравнений. М.: Наука. 1964. 280 с.

73. Петросян Л. А., Дифференциальные игры преследования. Л.: Изд-во Ленинградского государственного университета. 1977. 224 с.

74. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф., Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1968. 356 с.

75. Пшеничный Б. Н., Игра с простыми двидениями и выпуклым терминальным множеством // Труды семинара «Теория оптимальных решений», 1969. Т.16. № 3. С. 3−16.

76. Пшеничный Б. Н., Сагайдак М. И., О дифференциальных играх с фиксированным временем // Кибернетика, 1970. № 2, С.54−63.

77. Рождественский Б. Л., Янспко H.H., Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1968. 687 с.

78. Румянцев В. В., О формах принципа Гамильтона в квазикоординатах // Прикладная математика и механика, 1999. Т. 63, №.2. С. 172— 178.

79. Соболев С. Л., Уравнения математической физики. М.: Наука. 1966. 444 с.

80. Субботин А. И., Обобщенные решения дифференциальных уравнений первого порядка. Ижевск: РХД. 2003. 336 с.

81. Субботин А. И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона—Якоби. М.: Наука. 1991. 216 с.

82. Субботин А. И., Ченцов А. Г., Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981. 288с.

83. Субботин А. И., Субботина H.H., Функция оптимального результата в задаче управления // Докл. АН СССР, 1982. Т. 266. № 2. С. 294−299.

84. Субботин А. И., Тарасьев A.M., Ушаков В. Н., Обобщенные характеристики уравнений Гамильтона—Якоби // Изв. АН. Техн. кибернетика, 1993. № 1. С. 190−197.

85. Субботина H.H., Колпакова Е. А., О численном решении одного класса оптимизационных задач вибрационной механики // Труды IXй международной конференции, посвященной 105- й годовщине Н.Г. Че-таева, 2007, Т. 3. С. 220−229.

86. Субботина H.H., Колпакова Е. А., Об определении асимптотики одного класса сингулярно возмущенных задач вибрационной механики // Автоматика и Телемеханика, 2007, Т. 11. С. 150−163.

87. Субботина H.H., Колпакова Е. А., Достаточные условия минимаксного решения в терминах классических характеристик // Труды 40-й Всероссийской молодежной конференции «Проблемы теоретической и прикладной математики», 2009. С. 255−259.

88. Субботина H.H., Колпакова Е. А., О структуре локально липшицевых минимаксных решений уравнения Гамильтона Якоби — Беллмана в терминах классических характеристик // Труды Института математики и механики УрО РАН, 2009, Т.15, № 3. С. 202−218.

89. Субботина H.H., Колпакова Е. А., Метод характеристик Коши для решения задач оптимального управления и законов сохранения // Тезисы докладов международной конференции по математической теории управления и механике, 2009. С. 93−95.

90. Субботина H.H., Колпакова Е. А., Метод характеристик в решении задач оптимального управления // Тезисы докладов международной конференции «Управление и оптимизация динамических систем», 2009. С. 96−97.

91. Тарасьев A.M., Успенский A.A., Ушаков В. Н., Аппроксимационные схемы и конечно-разностные операторы для построения обобщенных решений уравнений Гамильтона — Якоби // Изв. РАН. Техн. кибернетика, 1994. № 3. С. 173−185.

92. Тихонов А. Н., Системы дифференциальных уравнений, содержащие малый параметр перед производными // Матем. сборник, 1952. Т.31. № 3. С. 575−586.

93. Тихонов А. Н., Самарский A.A. //О разрывных решениях квазилинейного уравнения первого порядка, Докл. АН СССР. 1954. Т. 99, № 1. С. 27−30.

94. Толстоногое A.A., Дифференциальные включения в банаховом пространстве. Новосибирск: Наука. 1986. 297 с.

95. Филиппов А. Ф., Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 224 с.

96. Фихтенголъц Г. М., Основы математического анализа. Том 3. М: Физ-матлит. 1960. 656 с.

97. Хрусталев М. М., Необходимые и достаточные условия оптимальности в форме уравнения Беллмана // Докл. АН СССР, 1980. Т. 254. С. 293- 297.

98. Чепцов А. Г., К игровой задаче наведения // Докл. АН СССР, 1976, Т. 226, № 1, С. 73−76.

99. Чериоусько Ф. Л., Акуленко Л. Д., Соколов Б. Н., Управление колебаниями. М.: Наука. 1980. 384 с.

100. Чикрий А. А., Конфликтно управляемые процессы. Киев: Наукова думка. 1992. 384 с.

101. Якубович В. А., Об асимптотическом поведении решений системы дифференциальных уравнений // Матем. сб., 1951. Т.28, С. 217—240.

102. Andreianov В. P., Benilan Ph., Kruzhkov S. N., Ll-Theory of Scalar Conservation Law with Continuous Flux Function // Journal of Functional Analysis, 2000.V. 171, Issue 1. pp. 15−33.

103. Aubin J.-P., Viability theory. Boston: Systems & Control: Foundations & Applications. Birkhauser Boston, Inc. 1991.543 p.

104. Bardi M., Evans L. C., On Hopf’s formulas for solutions of Hamilton-Jacobi equations // Nonlinear Analysis, Theory, Methods, Appl., 1984. Vol. 8. № 11, pp. 1373−1381.

105. Barles G., Perthaine B. // Exit time problems in optimal control and vanishing viscosity solutions of Hamilton-Jacobi equations, SIAM J. Control Optimiz. 1988. Vol. 26, pp.1133−1148.

106. Barron E. N., Jensen R., The Pontryagin maximum principle from dynamic programming and viscosity solutions to first-order partial differential equations. // Trans. Amer. Math. Soc., 1986. Vol. 298. № 2, pp.635—641.

107. Berkovitz L. D., Optimal feedback controls // SIAM J. Control Optimiz., 1989. Vol. 27, pp. 991−1006.

108. Cannarsa P., Frankowska H., Some characterization of optimal trajectories in control theory // SIAM J. Control Optimiz., 1991. Vol. 29, pp.1322−1347.

109. Clarke F.H., Generalized gradients and applications // Trans. Airier. Math. Soc., 1975. Vol. 205, pp.246−262.

110. Clarke F.H., Ledyaev Yu.S., Stern R.J., Wolenski P. R., Nonsmooth Analysis and Control Theory. New York: Springer. 1997. 278 p.

111. Conway E.D., Hopf E., Hamilton’s theory and generalized solutions of the Hamilton-Jacobi equations // Trans. Arner. Math. Soc., 1964. Vol. 13, pp. 939−986.

112. Crandall G., Lions P.L., Viscosity Solutions of Hamilton-Jacobi Equations // Trans. Amer. Math. Soc., 1983, Vol. 277, № 1, pp. 1−42.

113. Crandall M.G., Ishii H., Lions P.L. // Uniqueness of viscosity solutions revisited, J. Math. Soc. Japan.1987. Vol.39, pp. 581−596.

114. Dafermos C.M., Hyperbolic Consrvation Laws in Continuum Physics. Verlag: Springer. 2005. 626p.

115. Evans L.C., Partial Differential Equations. Graduate Studies in Mathematics: AMS. 1997. Vol. 19. 664p.

116. Fleming W. H., The Cauchy problem for a nonlinear first order differential equation // J. Diff. Equations, 1969. Vol. 5, № 3, pp.515−550.

117. Friedman A., Differential Games. New York: Wiley Interscience. 1971. 350p.

118. Gaitsgory V.G., Limit Hamilton-Jacobi equations for singularly perturbed zero-sum differential games //J. Math. Anal. Appl., 1996. Vol. 202, pp.862−899.

119. Goritski A.Yu., Panov E. Yu., Example of Nonuniqueness of Entropy Solutions in the Class of Locally Bounded Functions // Russian J. of Math. Physics, 1999. Vol. 6. № 4, pp. 492−494.

120. Guseinov H.G., Subbotin A.I., Ushakov V.N., Derivatives for multivalued mappings with applications to game-theoretical problems of control // Probl. Contr. Inform. Theory, 1985. Vol. 14, № 3, pp. 155−167.

121. Haddad G., Monotone trajectories of differential inclusions and functional-differential inclusions with memory // Israel J. Math, 1981. Vol. 39, pp.83—100.

122. Hopf E., Generalized solutions of nonlinear equations of first order //J. Math. Mech., 1965. Vol. 14, pp.951−972.

123. Ishii H., Uniqueness of unbounded viscosity solutions of Hamilton— Jacobi equations // Indiana U. Math. J., 1984. Vol. 26, pp. 721−748.

124. Lax P., Hyperbolic systems of conservations laws // Coininun. Pure Appl. Math., 1957. Vol 10. pp.537- 566.

125. Ladyzhenskaya O.A., The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Berlin: Springer. 1985. 322p.

126. Lions P.L., Souganidis P.E., Differential games, optimal control and directional derivatives of viscosity solutions of Bellman’s and Isaacs’s equations // SIAM J. Control Optimiz., 1985. Vol. 23. № 4, pp.566- 583.

127. Miricha S., Extending Cauchy’s method of characteristics for Hamilton— -Jacobi equations // Stud. Cere. Mat., 1985. Vol. 37. № 6, pp. 555—565.

128. Melikyan A.A., Generalized Characteristics of First Order PDEs: Applications in Optimal Control and Differential Games. Boston: Birkkauser. 1998. 315p.

129. Rockafellar R.T., Wets R. J-B., Variational Analysis. N.Y.: Springer. 1998. 734p.

130. Souganidis P.E., Max-min representations and product formulas for the viscosity solutions of Hamilton—Jacobi equations with applications to differential games // Nonlinear Analysis. Theory, Meth. Appl, 1985, Vol.9. № 3. pp.217—257.

131. Subbotina N.N., The method of characteristics for Hamilton-Jacobi equation and its applications in dynamical optimization // Modern mathematics and its applications, 2004, Vol. 20. pp. 2955−3091.

Литература

.

132. Subbotina N.N., Kolpakova E.A., On a Linear—Quadratic Optimal Control Problem with Geometric Restriction on Controls // Preprints International Workshop IFAC on «Control Applications of Optimization'», 2006, pp. 75−80.

133. Subbotina N.N., Kolpakova E.A., A numerical method in optimization problems for fast linear oscillator // Preprints XII International Symposium on Dynamic Games and Applications, 2006. pp. 202−203.

134. Subbotina N.N., Kolpakova E. A, On a LinearQuadratic Optimal Control Problem with Geometric Restriction on Controls // International Journal of Tomography and Statistics, 2007, Vol. 5, № W07 Issue 1. pp.62−67.