Повторные независимые испытания

Формула Бернулли

Пусть производятся п независимых испытаний, в каждом из которых может наступить событие А с одной и той же вероятностью р или произойти противоположное событие А с вероятностью q (такого рода схема испытаний называется схема Бернулли).

Повторные испытания — это последовательное проведение п раз одного и того же опыта или одновременное проведение п одинаковых опытов.

Теорема. Вероятность того, что в п независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна р, событие наступит ровно к раз (безразлично, в какой последовательности), равна.

или Формула (4.1) выражает так называемое биноминальное распределение повторных независимых событий.

Вероятность того, что в п испытаниях событие А наступит: а) менее т раз; б) более т раз; в) не более т раз; г) не менее т раз; д) не менее /г, и не более к₂ раз — находят соответственно по формулам:

Пример 4.1. Два равносильных противника играют в шахматы. Что вероятнее выиграть: одну партию из двух или три партии из шести? Ничьи во внимание не принимать.

Решение. Играют равносильные шахматисты, следовательно,.

Вероятность выиграть одну партию из двух (п = 2, к = 1):

Вероятность выиграть три партии из шести (и = 6, к = 3):

Так как Р_г{ 1) > Р_ь(3), то вероятнее выиграть одну партию из двух, чем три из шести.

Пример 4.2. В квартире живут 5 человек. Найти вероятность того, что среди этих лиц во время эпидемии окажутся больны гриппом: а) два человека; б) не более двух человек; в) более двух человек; г) не менее двух и не более трех человек; д) все. Вероятность заболевания человека гриппом принять равной 0,51.

Решение, а) По условию примера п = 5, к = 2, р = 0,51, q = = — р = 0,49.

Вероятность того, что заболеют два человека по формуле Бернулли равна

б) Вероятность того, что заболеют не более двух человек:

в) Вероятность того, что заболеют более двух человек:

г) Вероятность того, что заболеют не менее двух и не более трех человек:

д) Вероятность того, что все заболеют:

Схема Бернулли на практике не сложная, важно уловить как в вычислениях реализовать задачи вида «не более к раз», «не менее к раз», «ровно к раз».

Число ко называется наивероятнейшим числом наступлений события А в п испытаниях в схеме Бернулли, если при к = /и> значение вероятности Р"(к₀) превышает вероятности остальных значений Р"(к), т. е. имеет место неравенство Р"(ко) > Р"(к).

Если вероятности р и q отличны от нуля, то число к₀ можно определить из двойного неравенства

Если пр + р не является целым числом, то неравенство определяет одно наивероятнейшее число ко- Если же пр + р — целое число, то имеются два наивероятнейших значения: к'₀ = np-q и кЦ =пр + р. Если пр — целое, то к₀ = пр.

Пример 4.3. В специализированную больницу поступает в среднем 15% больных с диагнозом полипы в желудке. Найти наивероятнейшее число больных с этим заболеванием среди 20 пациентов, отобранных случайным образом.

Решение. Общее число независимых событий п = 20. Событие А, которое может произойти или не произойти из 20 испытаний, состоит в том, что отобранный пациент страдает с рассматриваемым видом заболевания. По условию задачи вероятность наступления события А в каждом испытании равна р = 0,15, вероятность противоположного события q = 1 — р = 0,85.

Из двойного неравенства np-qQ<, np+р следует, что 20 0,15 -0,85 <�к₀< 20−0,15 + 0,15, т. е. 2,15 < к₀ < 3,15. Так как к₀ является целым числом, то двойному неравенству удовлетворяет единственное целое число — 3, т. е. к₀= 3. Таким образом, наивероятнейшее число больных равно трем.

Пример 4.4. Вероятность рождения мальчика в семье равна 0,51. Выбрано 20 семей. Определить наивероятнейшее число рождения мальчика.

Решение. Здесь п = 20, р=0,51, q = -р = 0,49. Следовательно, 20 0,51 — 0,49 < к₀ < 20 • 0,51 + 0,51, т. е. 9,71 <�к₀< 10,71.

Так как к₀ — целое число, то наивероятнейшее число рождения мальчика в семье к₀ = 10.

Пример 4.5. В результате многолетних наблюдений установлено, что вероятность выпадения дождя 25 сентября в данном городе равна 0,2. Определить наивероятнейшее число дождливых дней 25 сентября в городе за 14 лет.

Решение. Здесь п = 14, р = 0,2, q = 0,8. Из двойного неравенства np-q <�к₀ < пр+р следует, что 14 0,2−0,8 < к₀ < 14 0,2 + 0,2, т. е. 2<�к₀<3. Так как пр + р = 3 — целое число, то имеются два наивероятнейших числа дождливых дней: к'₀ = 2 и = 3.

Пример 4.6. Всхожесть семян данного сорта растений составляет 60%. Найги наивероятнейшее число всхожих семян в партии из 200 семян.

Решение. Наивероятнейшее число ко всхожих семян находим по формуле (4.8). Так как п = 200, р = 0,6, q = 0,4, то.

отсюда 119,6 < Л:₀ <120,6, Так как ко целое число, то наивероятнейшее число всхожих семян в партии к₀ =120.