Отношение «меньше». Линейно упорядоченное множество натуральных чисел

Вспомогательные утверждения

Докажем ряд вспомогательных утверждений, которые, в частности, помогут нам определить отношение «меньше» для натуральных чисел и доказать его свойства.

2.4.1. Предложение. Всякое натуральное число п Ф1 непосредственно следует за некоторым натуральным числом.

Доказательство. Обозначим через М множество, содержащее 1, и всякое натуральное число, которое непосредственно следует за некоторым натуральным числом. Тогда 1 еМ_у

несли п еА/, то п’еМ. По аксиоме индукции, M = N. Таким образом, всякое натуральное число либо совпадает с единицей, либо непосредственно следует за некоторым натуральным числом. ?

2.4.2. Предложение. Для любых пип е N если т ф п, то т ф п .

Доказательство. Если предположить, что т =п то по аксиоме Р₃ получаем т = п, что противоречит условию. ?

2.4.3. Предложение. Для любых m, neN выполняется неравенство т+пФп.

Доказательство проведем индукцией по п при произвольно зафиксированном т. При п = 1 имеем: т + =т' Ф 1 по аксиоме Р_х. Пусть т+пФп, тогда по 2.4.2 (m + л)'Фп откуда по аксиоме сложения В) получаем т + ri Фп'. ?

2.4.4. Следствие. Для любого hgN п Фп.

К следующему утверждению мы неоднократно будем обращаться в дальнейшем. Оно, в частности, лежит в основе определения отношения «меньше» для натуральных чисел.

• 2.4.5. Теорема. Для любых натуральных чисел а и Ь имеет место одно и только одно из соотношений:
• 1) существует k е N такое, что b = а + к;
• 2) а = Ь
• 3) существует те N такое, что а =Ь + т.

Доказательство. Существование по крайней мере одного из соотношений докажем индукцией по Ь при произвольно зафиксированном а. Пусть h = 1. Если а = 1, то имеет место соотношение 2). Если а *1, то по 2.4.1 существует meN такое, что а = т . Отсюда а = т +1 = 1 + т, то есть для а и b = 1 имеем соотношение 3).

Предположим, что для а и b имеет место одно из соотношений 1),.

2), 3) и докажем, что для а и // имеет место одно из соотношений указанного типа.

Если Ь = а+к, то по аксиоме Пеано Р₂ и аксиоме сложения В) получаем: Ь' = (а + к)' = а+к', то есть для а и Ь' имеет место соотношение типа 1).

Если а = b, то Ь'= а =а +1, то есть для а и Ь' получаем соотношение типа 1).

Наконец, если а = Ь + т, то при т = 1 получаем a =b +1 = /У — соотношение типа 2), а при т * 1 по 2.4.1 существует натуральное число к такое, что т = к и мы получаем:

а = b + т = b + к' = b + к + = (Ь +) + к = Ь'+к — соотношение типа.

3) для а и //.

Докажем, что не могут выполняться сразу два из соотношений 1), 2), 3). Предположим, например, что одновременно имеют место соотношения 1) и 3). Тогда Ь = а + к =(Ь + т)+к = Ь + (т + к), что противоречит 2.4.3. Аналогично рассматриваются остальные случаи. ?