Теорема о собственных значениях

Если оператор L самосопряженный, то его собственные значения вещественны.

Возможны случаи, когда все собственные значения не совпадают, т. е. L_{ ф L., ф … Ф L_y. В этом случае каждой собственной функции ф соответствует свое, отличающееся от других собственное значение. Такие функции называют невырожденными.

Теорема о невырожденных собственных функциях.

Собственные функции f_п и f_m самосопряженного оператора L, принадлежащие разным собственным значениям L_n и L_m, ортогональны между собой, т. е.

Возможны случаи, когда собственные значения совпадают, т. е., например, i ₁ = L_m+,₂ = … — L_m+s, так что разные собственные функции ср_т+1, ср_т+2, … ф_т+! принадлежат одинаковым собственным значениям. В этом случае говорят, что имеет место вырождение. К вырожденным функциям теорема о собственных функциях неприменима, так как ее доказательство основано на предположении о неравенстве нулю разности L — L_m. Поэтому вырожденные функции, вообще говоря, неортогональны.

Теорема о вырожденных собственных функциях.

Если несколько собственных функций принадлежат одинаковым собственным значениям, то любая линейная комбинация из этих функций является решением того же операторного уравнения и с тем же собственным значением. Благодаря данной теореме из вырожденных функций всегда можно построить столько же новых линейно-независимых функций, являющихся линейными комбинациями вырожденных функций, причем взаимно ортогональных.