Функция от вектора импульса f (p)

Оператор функции от вектора импульса есть математическое выражение функции f (p), в которой импульс/? заменен оператором р.

Его действие сводится к преобразованию волновой функции математическим выражением функции оператора импульса:

Спектр собственных значений и вид собственных функций оператора функции от вектора импульса зависят от конкретного вида f (p).

В ряде случаев требуется получить операторы других физических величин, не определенных выше. Для этого существует принцип соответствия, заключающийся в том, что между операторами во многих случаях сохраняются те же соотношения, какие имеют место между динамическими величинами в классической механике.

Получим с помощью принципа соответствия, например, оператор кинетической энергии.

Кинетическая энергия Т.

Кинетическую энергию частицы с массой m в классической механике можно рассчитать по формуле Т = р2/(2т)у используя значение импульса р частицы. На основании принципа соответствия тогда кинетической энергии соответствует оператор

В декартовых координатах.

где, А — оператор Лапласа:

Операторное уравнение для кинетической энергии.

включает двукратное дифференцирование волновой функции. Очевидно, что условию на собственные значения, когда оператор оставляет волновую функцию неизменной с точностью до постоянной, отвечают, например, тригонометрические функции sin и cos и экспоненциальная функция. Нами уже была получена волновая функция экспоненциального вида — волна де Бройля. Исследуем возможность ее использования в качестве собственной функции оператора кинетической энергии. Для этого подставим выражение для волны де Бройля в операторное уравнение кинетической энергии.

и решим его.

Таким образом, спектр собственных значений оператора кинетической энергии — непрерывный ряд действительных чисел. Волновая функция оператора импульса является собственной функцией и оператора кинетической энергии. Однако, поскольку выражение для собственных значений оператора Т включает значения импульса в квадрате, операторному уравнению удовлетворяют две функции, отличающиеся направлением импульса. Поэтому собственные функции оператора Т вырождены: импульсам р и -р соответствуют разные функции.

Согласно теореме о вырожденных собственных функциях линейная комбинация их вида.

(где Cj и с₂ — коэффициенты) также является собственной функцией оператора кинетической энергии, отвечающей одному и тому же собственному значению ——.

2т

Одной из важных задач квантовой механики является расчет электронной структуры атома. Электроны в атоме находятся в так называемом центральном поле, действие которого зависит только от расстояния до центра — ядра с зарядом Z. Если начало координат поместить в центр поля, то расстояние электрона до центра определяется по формуле г = (х² + у² + z²)^i/2_y а его потенциальная энергия равна Z

U = —¹. В этом случае удобно воспользоваться сфериче- г

ской системой координат, задаваемой величинами г, 0 и ср. Пределы изменения сферических координат следующие:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 23. Декартова и сферическая системы координат Переход от декартовых координат к сферическим математически выражается равенствами, вытекающими из рис. 2.3:

Можно показать, что элементарный объем имеет вид

Замена декартовой системы координат сферической в.

— V²

выражении для оператора кинетической энергии Т = ——.

2 т

дает следующее выражение:

где.

Данной формой оператора кинетической энергии удобно пользоваться при решении задач о движении электрона в центральном поле.