Корреляционный и регрессионный анализ

• 1. Исходные данные 2
• 2. Решение задачи 1 3
• 3. Решение задачи 2 7
• Вывод: 11
• Список использованных источников 12

1. Исходные данные

Задание 1

1. Построить линейное уравнение парной регрессии;

2. Рассчитать линейный коэффициент парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации;

3. Оценить статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Задание 2

1. Построить уравнение парной регрессии в виде нелинейной функции: степенной у = ах^b, экспоненты у = ае^bх, показательной у = ab^x, любой на выбор;

2. Для оценки параметров модель линеаризируется путем логарифмирования или потенцирования;

3. Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции;

4. Значимость определяется по критерию Фишера.

Исходные данные для решения задач приведены в таблице 1.

Таблица 1 — Исходные данные

2. Решение задачи 1

Определим линейное уравнение парной регрессии.

Для этого составим и решим следующую систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

а=81,232;

b=0,76.

Итого получаем:

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 2.

Таблица 2 — Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

На рисунке 1 представим поле корреляции.

Рисунок 1 — Поле корреляции

Оценим статистическую зависимость параметров регрессии и корреляции (с помощью F-критерия Фишера и Т-статистики Стьюдента).

Определение коэффициента корреляции

Для определения коэффициента корреляции, определим дисперсию:

;

.

Определим коэффициент корреляции:

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим коэффициент детерминации:

Это значит, что 61% вариации «у» объясняется вариацией фактор «х» .

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим Fкритерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20−2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Оценка статистической значимости параметров регрессии с помощью t-статистики Стьюдента

Табличное значение t-критерия для числа степеней свободы df=n-2=20−2=18 и уровня значимости ?=0,05 составит t_табл=1,743.

Определим стандартные ошибки:

;

;

.

Тогда

;

;

.

Фактические значения t-статистики превосходят табличное значение:

поэтому параметры а, b, и r_xy не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.

Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии, а и b. Для этого определим предельную ошибку для каждого показателя:

;

.

Получаем доверительные интервалы:

и ;

и .

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что с вероятностью р=1-?=1−0,05=0,95 параметры, а и b, находятся в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. являются статистически значимыми и существенно отличны от нуля.

3. Решение задачи 2

В качестве уравнения нелинейной функции примем показательную, т. е.

у = a•b^x.

Определим экспоненциальное уравнение парной регрессии

Для определения параметров, а и b прологарифмируем данное уравнение:

ln (у) =ln (а)+ x•ln (b),

Произведем следующую замену: А= ln (а), B= ln (b).

Составим и решим систему уравнений:

;

.

;

.

Решая данную систему уравнений получаем:

А=4,436 следовательно a=84,452;

B= 0,0067 следовательно b=1,0067.

Итого получаем

.

Рассчитаем линейные коэффициенты парной корреляции и среднюю ошибку аппроксимации

Расчет будем вести табличным способом, и представим в таблице 3.

Таблица 3 — Расчет линейных коэффициентов парной корреляции и средняя ошибка аппроксимации

На рисунке 3 представим поле корреляции.

Рисунок 2 — Поле корреляции

Определяется коэффициент эластичности и индекс корреляции

Определим коэффициент эластичности

где

следовательно при изменении фактора" х" на 1% от своего среднего значения, «у» изменится на 0,334% от своей средней величины.

Определение индекс корреляции

.

Данный коэффициент корреляции характеризует высокую тесноту связи

Определим индекс детерминации:

Это значит, что 63,5% вариации «у» объясняется вариацией фактор «х» .

Определение статистической значимости уравнения регрессии с помощью F-критерия Фишера

Определим Fкритерий Фишера:

.

Табличное значение критерия при пятипроцентном уровне значимости и степенях свободы 1 и (20−2)=18 составляет F_таб = 4,45.

Имеем F> F_таб, следовательно уравнение регрессии признается статистическим значимым.

Вывод

В результате проведенного корреляционного анализа исходных данных была выявлена функциональная зависимость между значениями «х» и «у», то есть:. Данная зависимость обладает максимальным значением индекса корреляции и детерминации, а так же F-критерия Фишера.

Список использованных источников

1. Учебно-методическое пособие к изучению курса «Статистика». Н. Н. Щуренко, Г. В. Девликамиова: Уфа, 2004. 55с.

2. Эконометрика для начинающих. Основные понятия, элементарные методы, границы применимости, интерпретация результатов В. П. Носко: Москва, 2000. — 249с.

3. Эконометрика. И. И. Елисеева: Москва «Финансы и статистика», 2003. 338с.

4. Общая теория статистики. Н. М. Виноградова, В. Т. Евдокимов, Е. М. Хитарова, Н. И. Яковлева: Москва, 1968. 381с.