Нормальное уравнение плоскости. 
Расстояние от точки до плоскости

Пусть существует плоскость. Проведем нормаль через начало координат О. Пусть заданы — углы, образованные нормалью с осями координат.. Пусть — длина отрезка нормали до пересечения с плоскостью. Считая известными направляющие косинусы нормали, выведем уравнение плоскости .

Пусть) — произвольная точка плоскости. Вектор единичной нормали имеет координаты. Найдем проекцию вектора на нормаль.

.

Поскольку точка М принадлежит плоскости, то.

.

(8).

Это и есть уравнение заданной плоскости, называющееся нормальным.

Расстояние от точки до плоскости

Пусть дана плоскость, М* - точка пространства, d — её расстояние от плоскости.

Определение. Отклонением точки М* от плоскости называется число (+d), если M* лежит по ту сторону от плоскости, куда указывает положительное направление нормали, и число (-d), если точка расположена по другую сторону плоскости:

.

Теорема. Пусть плоскость с единичной нормалью задана нормальным уравнением:

.

Пусть М* - точка пространства Отклонение т. M* от плоскости задаётся выражением.

. (9).

Доказательство. Проекцию т. * на нормаль обозначим Q. Отклонение точки М* от плоскости равно.

.

;

;

(9).

Правило. Чтобы найти отклонение т. M* от плоскости, нужно в нормальное уравнение плоскости подставить координаты т. M*. Расстояние от точки до плоскости равно .