Дисперсия и ее свойства

Формулы для DX:

DX = М (Х — MX)² — формула по определению;

DX = М (Х — MX)² = М (Х² — 2Х? MX — (MX)²) = MX² — 2(MX)² + + (MX)² = MX² — (MX)² — расчетная формула для дисперсии.

DX — мера рассеяния (размытости) распределения вокруг своего среднего, так же как и среднее квадратическое отклонение а_х = +У DX. Рассмотрим свойства дисперсии.

1. Если С = const, то DC = 0.

Доказательство. DX = MX² — (MX)² = МС² — (МС)² = С² — С² = 0.

2. Если С = const, то DCX = C^lDX.

Доказательство. DCX = M (CX)² — (МСХ)² = С²MX¹ — СМХ)² = СМХ² — - (MX)²) = C²DX.

3. D (X + У) = DX + DY, если СВ X и Yнезависимы.

Доказательство. D (X + Y) = М (Х + Y)¹ — (М (Х + Y))¹ = М (Х² + 2XY + + Y²) — (MX + MY)² = MX² + 2MXY + MY² — (MX)² — (MY)² — 2MXMY = = DX + DY (где 2MXMY = 2MXY, так как XiiY независимы).

Нахождение моментов основных распределений дискретного типа

Рассмотрим задачи на нахождение моментов распределений.

Задача 2.18. СВ X, — В (. р). Найти MX, и DX,

Решение

Имеем таблицу распределения.

где q =1 — р MX, = Q q+ 1 р = р; MX² = 0² q + 1²р = р; DX, = MX² — -(МХУ-pq.

Задача 2.19. СВ X ~ В (п, р). Найти MX и DX.

Решение

СВ X, — число успехов в г-м испытании Бернулли, тогда.

Задача 2.20. СВ X — п (Х). р, = Р (Х = i) = Xe^x/i, X > 0, i = 0, 1, 2, Найти MX и DX.

Решение

Задача 2.21. Найти MX и DX для СВ X — G (p), где Р (Х = к) = рс/

k= 1,2…

Решение

Умножим на q ряд ^kq^{k 1} -1/(1 -q)¹. Получим ^kq^k — <7/(1 -q)¹ Продифференцируем этот ряд по q:

Задание 2.11. Найдите MY и DY для СВ Y ~ сд G (p), где P (Y= к) = pcf, к = 0, 1, 2,…, используя связь этой СВ со СВ X из задачи 4.

Задание 2.12. СВ Z, имеет распределение Паскаля (число опытов в испытании Бернулли до /-го успеха (СВ Z, — Ра (г, /;)). Найдите MZ, и DZ,.

Указание. Представьте СВ Z, в виде суммы независимых СВ, распределенных по геометрическому закону распределения.

Задание 2.13. Найдите математическое ожидание и дисперсию СВ Z₂, имеющей отрицательное биномиальное распределение (СВ Z₂ ~ ~ ОВ (г_ур)).

Задача 2.22. СВ X ~ H (N_y М_у п). Найти MX и DX.

Решение

где i е [max (0, п — N + М), min (М, гг)], но гак как С_А = О при В [0; Л], то можно считать, что i е [0, гг].

При вычислении MX и DX будем использовать формулу СЦ =

п п

= 2 Cv/Cv-ль следующую из того, что 2 Pi⁼ С и эквивалентные ей форму;

i=0 i=о.

п п

лы ОШ = S См_1 Су д/ и Су1₂ = 2 Си ^бл'-д/' а также легко проверяемое ра- /-1 i-2.

венство гС./ = MQ,, (действительно, г С' =г-=-,.

^А/ ^^{/1V Л/} i (M-i) (i-V.(M-iV.

При вычислении MX² используем представление i = (i — 1) + 1:

Задача 2.23. Доказать, что если СВ X принимает значения 0,1,2,то 76

Решение

Задача 2.24. Бросают N раз по п игральных костей. Найти математическое ожидание и дисперсию числа X таких бросаний, в каждом из которых выпадает ровно т «шестерок».

Решение

Тогда известно, что MX = NP, a DX = NP ( 1 — р), откуда окончательно получаем.

Задание 2.14. Симметричную монету подбрасывают нс более п раз. Если она падает «гербом» при j-м броске, то игрок выигрывает 2^J руб. (У = 1,…, п). Если при всех бросаниях монеты «герб» не выпадает, то игрок проигрывает пТ руб. Доказать «безобидность» игры (т.е. что математическое ожидание выигрыша равно нулю).

Задача 2.25. Стрельбу ведут с неограниченным боезапасом до двух попаданий, с вероятностью попадания при одном выстреле р = 0,2. Построить ряд распределения числа X выстрелов и найти MX.

Решение

Проверка {р_к} на распределение производится с использованием следующих равенств (при q = 1 — р):

Проверка на распределение:

Задача 2.26. Данор_к = Р (Х = (-1)*#) = ^ ₊ k- 1,2,… Проверит!" последовательность {р_к) на распределение. Существует ли MX?

Решение

Задача 2.27. Имеется п ключей. Из них один подходит к двери. Ключи извлекают по одному из связки без возвращения до появления нужного. Построить ряд распределения числаХ извлечения ключей и найти MX.

Решение

Строим ряд:

" 1.

Проверка па распределение: 21р_к = и — - = 1.

1 п

Ищем математическое ожидание:

Задача 2.28. Доказать, что если СВ X и Y независимы и MX = т, MY = п, то DXY = DXDY+n²DX+m²-DY.

Решение

Задача 2.29. Доказать, что min М (х — а)² = DX, где а — const.

а

Решение

Пусть а = MX, тогда М (Х — MX)² = DX. Пусть теперь а * МХХ, тогда Задача 2.30. Бросают п игральных костей. Найти MX и DX, где СВ X — сумма выпавших очков.

Решение

СВ Xj — очки, выпавшие на г-й кости, i = 1,…, п.

П

X = 2 -X, где {X,} — независимые СВ, принимающие значения от 1.

i=i.

до 6, каждое с вероятностью 1/6. Тогда MX = пМХ/, DX = nDX,. Вычисляем:

В параграфе 3.1 будет рассмотрено вычисление моментов с помощью метода производящих функций.