Адические числа. 
Числовые системы

Как уже отмечалось, деление ш-адических чисел проходит без проблем только при простом а = р-у. Если же т составное, то деление возможно далеко не всегда. Уже единицу можно разделить не на всякое m-адических число аФ0. Если а^-1 существует, то число а называют обратимым или делителем единицы. В связи с этим напомним, что элемент а Ф О кольца К называется делителем нуля, если существует в К элемент /?*О такой, что произведение ар = 0. Предположим, что в этом случае а~^] существует. Умножив равенство а /1 = 0 на а~ получаем р = 0, что противоречит условию. Следовательно, для делителя нуля не существует обратного. В то же время при составном т кольцо Q_m содержит делители нуля. Мы докажем это для характерного случая т =10. Одновременно будет дано описание элементов кольца Q₀.

Построим 10-адическое число у = …с₂с, с₀ следующим образом. Положим с₀ = 5, так что / = …5 и у₀ = 5. Возводим у₀ в квадрат: yl = 25 ив качестве с, берем вторую цифру полученного числа, т. е. с, =2, у = .25 и у, =25. Теперь находим у² =625 ив качестве с₂ берем третью цифру полученного числа, т. е. с₂=6, у = …625 иу₂ =625. Далее у₂ возводим в квадрат: у = 390 625 и четвертую цифру результата берем в качестве с₃, т. е. с_ъ = 0, у = …0625, у₃ = 0625. И так далее. На 30-м шаге будем иметь у = …106 619 977 392 256 266 425 088 344 064.

Похожим образом построим число S-.xi₂d_ld₀. В качестве начальной цифры возьмем d₀=2, так что? = …2 и S₀=2. Теперь S₀ возведем в пятую степень и вторую цифру результата (цифру с номером 1) возьмем в качестве d_] для ?. Так что S = …32 и ?, =32. Число возводим в пятую степень и третью цифру результата (цифру с номером 2) берем в качестве d₂. Имеем: ?,⁵ =32⁵ =33 554 432, так что d₂ =4, S = …432 и S₂ =432. И так далее. На тридцатом шаге будем иметь? = …530 407 839 804 103 270 969 901 056 000.

5.8.4. Лемма. у (у-1) = 0 zv?(?⁴-l) = 0. Следовательно, числа у и у -1, а также S и ?⁴ -1 являются делителями нуля.

Доказательство для числа у (для S аналогично). Достаточно доказать индукцией по п, что yl~y" делится на 10″ ^+|. При п = 0 получаем у-у₀- 5² — 5 = 20:10. Пусть у — у_п 10″ ⁺¹, докажем, что у?₁₊ -у_п+1: Ю^,+2. Из индуктивного предположения следует, что у чисел у² и у" цифры с номерами 0,1,…, я совпадают. По выбору цифры с_я+, числа у"+], эта цифра такая же, как у числа у на том же месте. Следовательно, Уп — /пн 10^,|+2. Но тогда Г"²₊1 -У«₊1 =<�Г» +с"^0″ *')²=(^-y".,)+2r"c"₊il0″ ⁺¹ +с^Ю^2п+2-:Ю‘" ², так как (у1~у_п+i): 10″⁺² по индукгивному предположению и 2у_п• 10. ?

5.8.5. Лемма. ?³ +? = 0.

Доказательство. По 5.8.4, S⁵-$ = 0, отсюда (S²-1)(?³ + #) = 0. Но число S²- обратимо, поскольку оканчивается цифрой 3, следовательно, на него можно сократить. Таким образом, d³+S = 0. ?

л Установим связь между числами /У и b = Ь₀ + Ь_] 10_;, + Ь₂ (10_/;) + …

5.8.6. Лемма. S² -у +1 = 0.

Доказательство. Поскольку yS = 0, у²-у = 0, и 3+(S²-y +)(y + S) = S²y-y² +у+д^ъ-yS + S = 0_y а гак как число y + S обратимо, то S² — у +1 = 0. ?

Следующая теорема дает классификацию 10-адических чисел.

5.8.7. Теорема. Для любого 10-адического числа а*0 имеет .место одно и только одно из трех: либо, а = ру, либо, а = (1S при некотором обраппшом /У.

Доказательство. Не нарушая общности, можно считать, что а — целое 10-адическое число. Предположим вначале, что существуют наибольшие показатели А: и т такие, что а = 2^к5^та'. Тогда последняя цифра числа а' взаимно прост с 10, а значит число а' обратимо. Вместе с.

I 2^п~ь 5^Л_Я|

тем, если п = max {к, т), то — =-, то есть число сх обратимо.

а а'-10″ .

Предположим теперь, что а делится на любую степень числа 5. Тогда, л.

так как 6 делится на любую степень двойки, то a S = 0, откуда a S = 0. Но по 5.8.6 S² = у-1, откуда а (у-1) = 0 и а = ау. Если предположить, что а делится на любую степень двойки, то поскольку у делится на любую степень пятерки, получаем а = ау = 0, что ирогиворечит условию. Следовательно, существует максимальный показатель п такой, что а = 2″ а" , где последняя цифра числа а" нечетная. Очевидно,.

а = 2'а" + Л6) у при любом Л, и существует такое Я, что последняя цифра числа а" + Л6 взаимно проста с 10, то есть это число обратимо. Но тогда число р = 2″ (а" + Лд) обратимо и ару.

Наконец, пусть а делится на любую степень двойки. Тогда сху = 0, откуда по 5.8.6 a (S² +1) = 0 и a = (-aS)S. Обозначим /?' = -аб, тогда a = p’S. Если предположить, что /У' делится на любую степень пятерки, то получаем а- 0, что противоречит условию.

Следовательно, существует максимальный показатель п такой, что р' = 5″ р^п, где последняя цифра числа /У" отлична от 0 и 5. Очевидно, а = 5^п(р" + py) S при любом //, и существует такое /у, что последняя цифра числа /Г +/лу взаимно проста с 10, то есть это число обратимо. Но тогда число р = 5^п(р^в + ///) обратимо и а = рб.

Докажем единственность каждого из трех случаев. Поскольку ру и рд делители нуля, то они не могут быть обратимыми. Предположим, что одновременно а = Ру wa = p’S, где р и р' обратимы. Тогда ру = р'8 и у = у² =у р~'р'$ = 0 — противоречие. ?

Используя арсенал понятий теории колец, заимствованный из курса алгебры, можно описать связь между кольцом целых 10-адических чисел Z, о и кольцами целых 2-адических чисел Z₂ и целых 5- адических чисел Z₅. Для любого целого 10-адического числа а определим S₂(cz) ^и как записи числа а соответственно в 2-ичной и в 5- ичной системах счисления. Легко видеть, что S₂ и S₅ являются гомоморфизмами кольца Z₁₀ на кольца соответственно Z₂ и Z₅. Ядра этих гомоморфизмов обозначим соответственно А = kerS₂ и В = kerS₅. Тогда А и В являются главными идеалами: а = {8}, в={у). При этом всякое 10-адическое число а однозначно представимо в виде а=а + Ь₉ где аеА, b€B. Это означае’г, что кольцо Z_]0 представляет собой прямую сумму идеалов: Z_U) = A®B. Используя теорему о гомоморфизмах для колец, получаем, что z, изоморфно фактор-кольцу z_l0/kerS₂=z_l0/A₉ которое в свою очередь изоморфно кольцу в. Аналогично устанавливаем, что z₅ изоморфно л. Следовательно, кольцо z_l0 изоморфно прямой сумме колец z₅®z₂. Напомним, что элементами этой прямой суммы являются всевозможные пары вида (а, Р), где aeZ_s. При этом изоморфизме числам у и д^А соответствуют пары (0₅, 1₂) и (1₅, 0₂) соответственно. Поскольку (0₅, 1₂) + (1₅, 0₂) = (1₅, 1₂) — образ единицы, то у + 8*= 1. Впрочем, это равенство можно получить из леммы 5.8.6.