Неравенство для производной алгебраического многочлена

В 1889 г. вышла работа А. А. Маркова «Об одном вопросе Д. И. Менделеева». В одной из своих работ по химии Д. И. Менделеев поставил вопрос об оценке производной квадратного трехчлена через максимальное значение абсолютной величины самого трехчлена. Рассматривая этот вопрос, А. А. Марков обобщил задачу Менделеева и получил очень важное неравенство, которое впоследствии оказалось исходным пунктом многочисленных исследований по теории приближения функций.

Пусть дан алгебраический многочлен с действительными коэффициентами Предположим, что на сегменте этот многочлен удовлетворяет неравенству А. А. Марков ставит вопрос об оценке производной многочлена (1) при условии (2). При этом А. А. Марков четко различает два случая. В первом случае число фиксировано в интервале. Во втором случае является произвольным числом из сегмента, т. е. рассматривается максимум величины на сегменте. В соответствии с этим А. А. Марков решает следующие задачи.

Задача 1. Для фиксированного найти наибольшее значение при условии (2).

Задача 2. Найти максимум величины на сегменте при условии (2).

Решая вторую задачу, А. А. Марков установил, что при условии (2) имеет место формула.

В настоящее время этот результат формулируется как теорема А. А. Маркова. Если алгебраический многочлен (1) степени не выше удовлетворяет условию (2), то для его производной выполняется неравенство В той же работе А. А. Марков показывает, что неравенство (3) является неулучшаемым относительно всех величин, входящих в него, если рассматривать весь класс многочленов степени не выше п. Впоследствии очень важное неравенство (3) получило название неравенства Маркова об оценке производной алгебраического многочлена на всем сегменте.

При решении задачи 1 А. А. Марков фактически доказал еще одно неравенство В этом неравенстве производная алгебраического многочлена оценивается во внутренних точках интервала в зависимости от положения точки на этом интервале.

Неравенство (4) именно в таком виде впервые опубликовал С. Н. Бернштейн [II, 171], но при этом он заметил, что доказательство этого неравенства, а также его другая, не совсем удачная форма содержатся в вышеупомянутой работе А. А. Маркова.