Движение в поле центральной силы

В предыдущей теме рассматривалось движение в поле однородной силы тяжести, т. е. она была во всех точках одинакова по величине и направлению. Это верно, если размеры орбиты.

Рис. 2.26.

много меньше размеров Земли. Если это не так, например при полетах баллистических ракет, то следует учитывать, что в разных точках силы тяготения не параллельны, а направлены в одну точку — к центру Земли (рис. 2.26). Такие силы называются центральными.

Рис. 2.27.

Проведем через центр О и вектор v плоскость. В любой точке траектории центральная сила F лежит в этой плоскости и не имеет составляющих, которые могли бы вывести тело из этой плоскости. Движение можно считать плоским или двумерным (2D). Если выбрать оси координат х, у в этой плоскости, координату г можно не учитывать. В полярных координатах можно ограничиться только двумя координатами: г и 0, радиусом-вектором и только одним углом, см. рис. 2.26 и 2.27. Задача о движении планет в поле центральной силы притяжения к Солнцу была решена впервые Ньютоном. Он опирался на открытый им закон всемирного тяготения.

где М — масса Солнца, m — масса планеты, грасстояние между центрами этих тел, а у = 6,67−10'" (в системе СИ) — гравитационная постоянная, и на открытые к тому времени астрономом Кеплером законы движения планет. Рассмотрим эти законы.

1. Любая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце (см. рис. 2.27).

где г — радиус-вектор, 0 — угол, показанный на рисунке 2.27, а р и е — параметры орбиты. Параметр е называется зксцентриси-

Из аналитической геометрии известно уравнение эллипса в полярных координатах:

тетом. Если большую ось эллипса обозначить 2а (см. рис. 2.27), а расстояние между фокусами эллипса через 2с, то е = с/а. Этот параметр характеризует вытянутость орбиты. Для орбит, близких к круговым, с -" 0 и е = 0. Для сильно вытянутых орбит с -* а и е -* 1. Отметим, что орбиты планет близки к круговым.

2. Радиус-вектор, проведенный из точки О к планете, вращается с постоянной секториальной скоростью. Это означает, что площади, описываемые этим радиусом за одинаковые промежутки времени, одинаковы (рис. 2.27). Поэтому скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу. По круговой орбите планета движется равномерно, с одной скоростью v (но v меняется, так как меняется направление этого вектора).

3. Квадраты периодов обращения Т прямо пропорциональны кубам больших полуосей а. Для круговых орбит — кубам радиусов орбит:

(см. формулу (2.35), полученную выше). Чем дальше планета от Солнца, тем медленнее она движется. Например, орбита Сатурна в 10 раз больше орбиты Земли. В результате продолжительность года на Сатурне.

Вывод законов Кеплера для эллиптических орбит из закона тяготения Ньютона довольно сложен, и мы его здесь не приводим.

Кроме планет, в Солнечной системе имеются более мелкие тела (кометы, болиды), орбиты которых могут быть сильно вытянуты (с -" а, е -* 1).