Элементы электродинамики. 
Общая физика

5.

Итоги темы «Электричество и магнетизм» (основные уравнения)

Соберем самые важные соотношения, полученные в предыдущих разделах. Вот эти уравнения:

Здесь читателю полезно вернуться к тем разделам, где эти соотношения были выведены, вспомнить, откуда они были получены, освежить в памяти физический смысл и полные формулировки соответствующих законов. Рекомендуется еще раз рассмотреть чертежи, их поясняющие, а также запись этих уравнений в дифференциальной форме:

Простое запоминание этих формул бессмысленно!

Обобщение законов электромагнетизма было сделано в — конце XIX в. Дж. К. Максвеллом. Он показал, что из этих уравнений можно вывести все остальные формулы, описывающие электрические и магнитные явления в самых различных ситуациях.

Однако Максвеллу принадлежит еще одно обобщение, сыгравшее огромную роль в развитии физики и техники XX в. Это представление о токах смещения.

Токи смещения и система уравнений Максвелла

Рис. 4.76.

Обратимся к уравнению Био —.

Савара — Лапласа (БСЛ), обобщением которого стали уравнения (4.173) и (4.173, а). Оно дает возможность вычислить напряженность магнитного поля Н, создаваемого электрическим током. Пусть ток течет по прямому бесконечному проводу (рис. 4.76, а).

Элемент поля dH, создаваемый элементом тока idly вычисляется по формуле (4.97). Суммирование всех dH,

т. е. интегрирование по всем элементам тока iai от — оо до ?+? оо, дает возможность найти полное значение Я в точке А (см. раздел 3 настоящей главы).

Допустим теперь, что в проводе есть разрыв и в него включен конденсатор емкостью С (рис. 4.76, б). Постоянный ток при этом течь не может, но переменный — может (см. раздел 4 настоящей главы). В течение какого-то времени на одной из пластин конденсатора может накапливаться заряд + q, а с другой пластины такой же заряд будет уходить, так что на ней постепенно появляется заряд — q. Когда ток пойдет в другую сторону, конденсатор будет перезаряжаться. Величина тока в проводе будет i = dq/dt.

Пусть теперь мы хотим вычислить поле Я в точке А в случае переменного тока. Достаточно ли будет проинтегрировать выражение, даваемое законом БСЛ для dH, по всем участкам провода от — (c)о до точки В и затем от точки С до + (c)о? Опыт показывает, что правильное значение для полного Я будет получено, если провести интегрирование и по участку ВС, считая, что на нем течет такой же ток г, как и по остальным участкам провода.

Но тока проводимости, т. е. движущихся зарядов, на участке ВС нет. Там есть только электрическое поле. В разделе 1 данной главы было показано, что напряженность этого поля равна Е = о /(??), где о — поверхностная плотность заряда на пластинах (а = q/S). Там же показывалось, что D = а.

Ток в проводе равен г = dq/dt. Свяжем это с полем в конденсаторе:

Повторим, что правильное значение для Н получается только, если считать, что такой ток как бы течет на участке ВС. Этот ток был назван током смещения

Он не связан с перемещением каких-либо зарядов, а обусловлен только переменным по времени электрическим полем.

Его плотность будет

Таким образом, мы должны считать, что магнитное поле создается не только токами проводимости, но и токами смещения, и учесть это обстоятельство в формулах (4.173) и (4.173, а). Это очень важный результат, так как токов проводимости может вообще не быть (например, в вакууме), но если есть электрическое поле и оно меняется со временем (dD/dt 0), то и в этом случае появляется магнитное поле.

С учетом токов смещения система уравнений Максвелла приобретает следующий обобщенный вид:

Слева — система уравнений в интегральной форме, справа — в дифференциальной. Это довольно сложная система в частных производных (вспомните, как выглядят операторы div и rot в координатной форме). К тому же все эти уравнения представляют собой векторные соотношения, и в координатной форме каждое из них распадается на три уравнения в виде проекций на оси х, у и 2.

К этой системе необходимо добавить еще так называемые материальные соотношения, в которые входят диэлектрическая проницаемость среды е, магнитная проницаемость ц и электропроводность среды а:

Рис. 4.77.

Последняя формула — это закон Ома в дифференциальной форме. Здесь о — не поверхностная плотность заряда, как в формуле (4.174), а удельная электропроводность. К сожалению, для этих разных величин обычно используется одинаковое обозначение.

Соотношения (4.178) также являются векторными (а величины е, Ц и о — это в общем случае тензоры второго ранга).

Уравнение электромагнитной волны как следствие уравнений Максвелла В разделе 9 главы 2 было показано, что общее выражение для плоской волны, распространяющейся вдоль направления х, имеет вид.

где G — любая колеблющаяся величина.

Из уравнений Максвелла следует, что величины Ей Н также подчиняются уравнению (4.179) и, следовательно, электрические и магнитные поля могут распространяться в виде электромагнитных волн.

Общий вывод этого утверждения сложен. Упростим задачу. Покажем возможность существования не любой волны, а плоской, т. е. такой, в которой величины Е и Н зависят только от координаты х, а вдоль осей у и z (в плоскости (у, г) они имеют одинаковые значения).

Пусть наша среда — диэлектрик, т. е. в ней нет свободных зарядов (р = 0) и, следовательно, нет токов (j = 0). Кроме того, будем считать, что среда изотропна, т. е. ее свойства во всех направлениях одинаковы. Это ведет к ряду упрощений. В частности, первые два уравнения в (4.177) и последнее в (4.178) можно не использовать.

Итак, пусть в точке х = 0 (рис. 4.77) в плоскости (у, z) имеется переменное по времени поле Е, направленное вдоль оси у (Е = Е_у,

Е_х = E_z = 0). Выпишем в координатной форме третье и четвертое уравнения Максвелла (4.177), т. е. выпишем по отдельности проекции этих уравнений на оси х, у и z:

По условию Е_х и Е₂ (а следовательно, и D_x и D*) равны нулю. Вычеркнем их. Кроме того, все производные по у и по 2 согласно нашему условию равны нулю, так как волна плоская и вдоль у и z ничего не меняется. Останется.

Из (4.182, а) следует, что Н_у не зависит от х и, следовательно, не распространяется вдоль оси х в виде волны. Поэтому составляющая магнитного поля вдоль оси у может быть и отлична от нуля, но не представляет для нас интереса. Из (4.183, а) и (4.184, а) следует, что составляющие магнитного поля В_х и В_у не меняются со временем, т. е. могут быть отличны от нуля, но не колеблются. Они также не представляют для нас интереса, так как не распространяются в виде волн. Остается только составляющая В₂.

В оставшихся двух уравнениях заменим Н_г на Я, D_y на D = е₀вЕ, В_г на В = ЦоЦЯ и Е_у на Е:

Чтобы на время избавиться от переменной Я, продифференцируем (4.186) по t, а (4.187) — по х:

Поскольку х и t — независимые переменные, правые части равны. Следовательно.

Итак, из уравнений Максвелла получается выражение типа (4.179), т. е. уравнение волны. Причем под скоростью распространения v следует понимать величину.

Тогда Можно было из (4.186) исключить не Н, а Е, тогда получилась бы аналогичная формула для Н.

Мы получили уравнение типа (4.179). Это означает, что величины Е и Н распространяются вдоль оси х в виде волн со скоростью v:

В последнем случае подразумевается реальная часть от написанного выражения. Аналогично можно написать уравнение волны и для Н. Это и есть электромагнитная волна, в которой Е1Н и оба вектора перпендикулярны направлению распространения волны х (рис. 4.78).

Из (4.189) можно подсчитать, какова скорость распространения электромагнитной волны. Подставив е₀ = 8,85−10~¹² и Цо = = 1,2610'⁶ (все в СИ), получим.

Рис. 4.78.

В вакууме? = ц = 1 и скорость волны в вакууме = с = 3- 10^е м/с. В диэлектрической среде скорость будет в п = -/щх раз меньше:

Число п называется показателем преломления, так как далее в главе «Геометрическая оптика» мы увидим, что это число показывает, как преломляется волна при переходе из одной среды в другую.