Миноры и алгебраические дополнения

Рассмотрим определитель w-го порядка (3.3). Выделим в нем какой-либо элемент a_tj и вычеркнем /-ю строку и у-й столбец, на пересечении которых расположен этот элемент. Полученный определитель (п — 1)-го порядка называется минором Му элемента а~ определителя Д_л.

Например, возьмем определитель четвертого порядка.

Минор М₃₂ элемента а₃₂ получается вычеркиванием из данного определителя третьей строки и второго столбца. Полученный определитель третьего порядка равен.

Определение 2. Алгебраическим дополнением элемента ау определителя (3.3) называется число

Так, для приведенного примера алгебраическое дополнение.

Миноры и алгебраические дополнения играют важную роль в алгебре и се приложениях. Одним из таких применений является основополагающая теорема о способе вычисления определителей.

Теорема 3.1. Определитель равен сумме произведений элементов любой строки на их алгебраические дополнения:

Доказательство этой теоремы мы опускаем.

Формула (3.5) называется разложением определителя по /-й строке. Аналогичное утверждение имеет место и для разложения определителя по любому столбцу.

Формула (3.5) сводит вычисление определителя л-го порядка к вычислению п определителей (п — 1)-го порядка. Зная формулу (3.2) вычисления определителя третьего порядка, мы, например, можем найти определитель четвертого порядка путем разложения его на сумму алгебраических дополнений по формуле (3.5).

Пример 1. Вычислить определитель четвертого порядка.

В принципе, разложить определитель можно по любой строке (столбцу) согласно формуле (3.5). Однако объем вычислений можно существенно уменьшить, если выбрать такую строку (столбец), в которой побольше элементов равны нулю. Наиболее подходящей в нашем случае является вторая строка. Разложение по ней определителя имеет вид: