Применение методов линейной алгебры в экономике

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ АЛГЕБРЫ МАТРИЦ

Использование элементов алгебры матриц является одним из основных методов решения многих экономических задач. Особенно актуальным этот метод стал при разработке и использовании баз данных: при работе с ними почти вся информация хранится и обрабатывается в матричной форме.

Матричные вычисления

Рассмотрим типичные задачи, в которых используются понятие вектора и его свойства.

Пример 1. Предприятие выпускает ежесуточно четыре вида изделий, основные производственно-экономические показатели которых приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Требуется определить следующие ежесуточные показатели: расход сырья S, затраты рабочего времени Т и стоимость Р выпускаемой продукции предприятия. ?

Решение. Поданным табл. 5.1 составим четыре вектора, характеризующие весь производственный цикл:

q = (20, 50, 30, 40) — вектор ассортимента; s = (5, 2, 7, 4) — вектор расхода сырья;

Т = (10, 5, 15, 8) — вектор затрат рабочего времени; р = (30, 15, 45, 20) — ценовой вектор.

Тогда искомые величины будут представлять собой скалярные произведения вектора ассортимента q на соответствующий вектор, т. е.

S = qs= 100 + 100 + 210 + 160 = 570 кг, T=qt= 1220 ч, P-qp-3500 дсн. ед.

Пример 2. Предприятие выпускает четыре вида изделий с использованием четырех видов сырья. Нормы расхода сырья даны как элементы матрицы А:

Требуется найти затраты сырья на каждый вид изделия при заданном плане их выпуска; соответственно 60, 50, 35 и 40 ед.

Решение. Составим вектор-план выпуска продукции.

Тогда решение задачи дается вектором затрат, координаты которого и являются величинами затрат сырья по каждому его виду; этот вектор затрат вычисляется как произведение вектора q на матрицу А:

Пример 3. Пусть затраты четырех видов сырья на выпуск четырех видов продукции характеризуются матрицей А, приведенной в предыдущем примере. Требуется найти:

• 1) общие затраты на сырье для каждого вида продукции и на доставку этого сырья;
• 2) общие затраты на сырье и его доставку при условии заданного вектор-плана предыдущей задачи, если известны себестоимость каждого вида сырья и стоимость его доставки (соответственно 4, 6, 5, 8 и 2, 1, 3, 2 ден. ед.).

Решение. Составим матрицу себестоимости сырья и стоимости его доставки (соответственно первая и вторая строки):

Тогда ответ на первую задачу дается в виде произведения матрицы А на транспонированную матрицу С^т:

Суммарные затраты на сырье и его доставку (в денежных единицах) при вектор-плане выпуска продукции q — (60, 50, 35,40) определяются произведением вектора q на матрицу АС^Т: