Функции нескольких переменных

ЕВКЛИДОВО ПРОСТРАНСТВО Ет

Евклидова плоскость и евклидово пространство

Как мы знаем, множество всех упорядоченных пар вещественных чисел (д;, у) называется координатной плоскостью и каждая точка на ней характеризуется парой своих координат: Л/(х, >>)•.

Определение 1. Координатная плоскость называется евклидовой плоскостью, если расстояние между двумя любыми точками А/,(х_|э у,) и Л/₂(*₂, .у,) определено по формуле.

Аналогично вводится и понятие евклидова пространства. В этом случае каждая точка координатной плоскости характеризуется тройкой чисел, и тогда расстояние между двумя любыми точками пространства Л/,(х, у, г,) и Л/₂(х_2> у₂, z₂) определяется формулой.

Стало быть, евклидова плоскость и евклидово пространство определяются способом измерения расстояния между двумя любыми своими точками.

Понятия m-мерного координатного пространства и ш-мерного евклидова пространства

Определение 2. Множество всевозможных упорядоченных совокупностей т действительных чисел (х, х₂> х₃, …" х_т) называется т-мерным координатным пространством А^т.

Каждую упорядоченную совокупность (х, х₂,…"х_т) называют точкой этого пространства и обозначают одной буквой М. Числа х₂, …, х_т называются координатами точки Л/, что символически записывается следующим образом: А/(х, х₂, х_т).

Определение 3. Координатное пространство А^т называется /"-мерным евклидовым пространством Е^т, если между двумя любыми точками Л/'(х[, х₂,…, х^) и М" (х х_2>) пространства А^т расстояние р (Л/") определено по формуле.

Очевидно, что введенные понятия /я-мерного координатного пространства А^т и m-мерного евклидова пространства Е^т являются обобщениями понятий соответственно координатных плоскости и пространства и евклидовых плоскости и пространства.