Последовательности точек в пространстве Ет

Пусть каждому числу п натурального ряда чисел 0, 1,2, … ставится в соответствие точка М_п евклидова пространства Е^т пронумерованный таким образом ряд точек Л/, Л/₂, М_у … называется последовательностью ючек евклидова пространства Е^т и обозначается {М_п.

Рис. 14.1.

Определение 12. Последовательность точек {Л/Д евклидова пространства Е^т называется сходящейся, если существует такая точка А, что для любого числа е > 0 можно указать номер /V, начиная с которого (при п > N) все точки этой последовательности будут находиться в е-окрсстности точки А, т.с. р (Л/_Л, А) < е. Тогда число А называется пределом последовательности {Л/,}.

Для обозначения предела А последовательности {Л/Д используют символы:

Для сходящейся последовательности {Л/Д точек пространства Е^т справедлива следующая очевидная теорема.

Теорема 14.1. Для того чтобы последовательность точек {Л/Д евклидова пространства Е^т сходилась к точке А (а₂, д₃,…, а_т), необходимо и достаточно, чтобы последовательности координат … j*J^J сходились к со ответствующим координатам a_t(/ =1,2, …, т) точки А. ?

Определим, что началом координат евклидова пространства Е^т является точка, все координаты которой равны нулю: 0(0, 0, …, 0).

Определение 13. Последовательность точек {Л/Д ///-мерного евклидова пространства называется ограниченной, если существует такое число а, что для всех точек этой последовательности выполняется неравенство р (Л/_я, О) = а, т. е. все ее точки содержатся внутри или на границе шара радиуса а с центром в начале координат.