Уравнения Навье-Стокса и проблема моделирования турбулентных течений над шероховатой поверхностью

Рассмотрим систему уравнений, описывающую неизотермическое атмосферное течение несжимаемого газа с учетом сил плавучести и переноса инертной примеси, имеем [9−10].

(1).

Здесь обозначено: — плотность воздуха; - вектор скорость потока; - кинематическая вязкость; - давление за вычетом гидростатического атмосферного давления; - вектор ускорения свободного падения; - равновесная плотность; - температура, — число Прандтля; массовая концентрация примеси; - число Шмидта; - коэффициент молекулярной диффузии.

Гидростатическое уравнение и стандартное приближение Буссенеска для возмущений плотности заданы в виде.

(2).

Здесь — коэффициент расширения, для идеального газа.

Определим систему декартовых координат таким образом, что бы ось была направлена против направления вектора ускорения свободного падения. Рельеф обтекаемой поверхности описывается уравнением — рис. 1.

Рис. 1. Геометрия течения над шероховатой поверхностью.

Граничные условия для параметров течения зададим на обтекаемой поверхности и на границе пограничного слоя следующим образом:

(3).

Здесь — температура подстилающей поверхности, — концентрация примеси на поверхности, — высота пограничного слоя, — скорость течения на высоте , — температура и концентрация примеси на высоте соответственно.

По координатам зададим периодические граничные условия. Считаем, что в начальный момент скорость течения, температура и концентрация примеси описываются линейными функциями, имеем.

(4).

Приближенные решения задачи (1)-(4) для различных турбулентных течений были получены в наших работах [7−12] и других. Практически при любой функции распределения шероховатости течение довольно быстро переходит в турбулентный режим с установлением логарифмического профиля скорости, температуры и концентрации примеси — рис. 2.

Рис. 2. Формирование логарифмического профиля скорости потока в турбулентном пограничном слое над шероховатой поверхностью: пространственно-временное распределение продольной компоненты скорости в координатах вычислено по модели (7) для двух значений числа Рейнольдса .

Отметим, что результаты, приведенные на рис. 2, получены путем численного интегрирования системы уравнений (7) с граничными условиями (3) и начальными данными (4). Из приведенных результатов следует, что линейный профиль (4) за короткое время эволюционирует в логарифмический профиль.

Этот факт, установленный во многих исследованиях [13], показывает, что природа изобрела наиболее экономичный способ движения в форме логарифмического профиля. Однако если логарифмический профиль подставить во второе уравнение (1), то можно убедиться, что это уравнение не выполняется. жидкость поверхность моделирование турбулентный Такой результат означает, что в природе существуют силы, которые поддерживают логарифмический профиль, но которые не нашли отражения в уравнениях (1). Обычно происхождение этих сил приписывают так называемым напряжениям Рейнольдса, обусловленным турбулентной вязкостью или диффузией [13−14]. Обратимся к методу решения проблемы турбулентной диффузии, который был предложен в наших работах [7−12] и других. Основная идея заключается во введении в уравнения (1) случайных параметров. Например, в пограничном слое можно представить вектор скорости течения в форме, где — это поверхность, описывающая динамическую шероховатость [9−10].

Предполагается, что такую поверхность можно характеризовать случайными параметрами, которые имеют смысл высоты, скорости движения элемента и наклонов поверхности. Обозначим функцию распределения этих параметров .

Предположим, что и рассмотрим достаточно представительную область течения объемом, где — типичные масштабы течения в направлениях x, y соответственно — рис. 1. Рассмотрим подобласть течения, которая принадлежит рассматриваемой области течения, и в которой случайные параметры изменяются в интервалах ,.

В общем случае подобласть является многосвязной областью, объем которой задается уравнением.

.

Случайная амплитуда скорости может быть определена путем суммирования выражения в объеме :

(5).

Здесь — произвольный объем, вложенный в и содержащий. Очевидно, что является случайной функцией, поскольку зависит от случайных параметров. Уравнения, описывающие динамику, следуют из уравнений (1) и (5), а их вывод дан в [9−12]. Статистический момент порядка случайной функции определяется следующим образом.

(6).

В результате применения указанных преобразований система уравнений (23) принимает вид [9−10]:

(7).

Здесь, .

Отметим, что фигурирующая в уравнениях (7) турбулентная вязкость пропорциональна квадрату расстояния до шероховатой стенки. Система уравнений (7) имеет установившееся решение в форме логарифмического профиля, как для скорости — рис. 2, так и для температуры и концентрации [7−12]. В чем же отличие исходной системы (1) и выведенной из нее системы уравнений (7)? Отличие заключается в явном учете влияния микроскопической геометрии линий тока на основное течение. Геометрический фактор оказывается весьма существенным, не смотря на его малую величину.

Так, в пограничном слое над гладкой поверхностью безразмерный параметр динамической шероховатости, определенный по динамической скорости, составляет около .

Для сравнения укажем, что число Рейнольдса пограничного слоя атмосферы составляет порядка .

Большая величина числа Рейнольдса и малая величина толщины вязкого подслоя вполне соизмеримы в логарифмическом масштабе, когда реализуется логарифмический профиль скорости, который выводится из уравнений (7). С другой стороны, начальные данные (4) в форме линейного профиля удовлетворяют уравнениям (1), но не удовлетворяют уравнениям (7). Отметим, что в эксперименте переход от ламинарного течения к турбулентному течению с логарифмическим профилем наблюдается на плоской пластине [13].