Функциональные матрицы. 
Математика в экономике

Пусть функции (16.18) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки Л/(х, х₂, …, х_т), причем все первые частные производные этих функций непрерывны в самой точке М. Функциональная матрица Якоби, составленная из частных производных функций (16.18). имеет вид:

Эта матрица содержит п строк и т столбцов; напомним, что п <, т.

Справедлива следующая теорема, которую мы приводим без доказательства.

Теорема 16.5. Пусть ранг функциональной матрицы ^ 16.22) равен г в точке Л/(х, х₂, … х_т), т.с. у данной матрицы существует некоторый минор г-го порядка, составленный с участием г функций из (16.18), который нс равен нулю в точке М:

Тогда эти г функций независимы в окрестности точки Л/, а каждая из остальных п — г функций в (16.18) зависит в этой окрестности от г указанных функций. ?

Эту теорему называют достаточным условием зависимости функции. Пример 7. Исследовать зависимость функций.

Функциональная матрица (16.22) в данном случае имеет вид:

Все определители третьего порядка тождественно равны нулю при любых значениях неизвестных х, х₂, х₃, х₄, так как линейная комбинация первой и последней строк матрицы равна второй строке. Нетрудно убедиться, что при несовпадающих значениях четырех координат хотя бы один из определителей второго порядка, включающих в себя элементы первой и второй строк матрицы, отличен от нуля. Следовательно, в евклидовом пространстве ?⁴, исключая гиперпрямую х, * х₂ = х₃ = х₄, функции w, и и₂ независимы, а функция и_у зависит от w, и и₂. На гиперпрямой х, = х₂ = х₃ = х₄ все данные функции являются зависимыми.