Модифицированное «золотое» правило

Как и в модели Солоу, представляет интерес вопрос о наличии в модели Рамсея стационарного состояния (стационарного оптимума), т. е. такой оптимальной траектории (kt'^ct)t= од,…" ^на которой капиталовооруженность и удельное потребление постоянны во времени:

Поскольку для такой траектории справедливо c*_t+1 =c*_t, то из (20.4) мы получаем, что стационарная капиталовооруженность является решением следующего уравнения относительно к:

В силу свойств производственной функции, решение такого уравнения существует, положительно и единственно. Обозначим его через k^MGR. Выбор капиталовооруженности на уровне k^MGR называют модифицированным «золотым» правилом, а саму величину k^MGR — капиталовооруженностью модифицированного «золотого» правила. Соответствующее ей стационарное потребление на душу населения определяется из (20.3):

Таким образом, стационарный оптимум существует и единственен, причем он полностью определяется модифицированным «золотым» правилом.

Более того, замечательное свойство модифицированного «золотого» правила состоит в том, что оно полностью характеризует асимптотические свойства всех оптимальных траекторий вне зависимости от начального состояния. На любой оптимальной траектории (k*_t, c?)_t=01, исходящей из начального состояния /?_о>0, последовательность капиталовооруженностей (?,*),₌₀, 1,. монотонно сходится к k^MGR. Соответствующая последовательность потреблений на душу населения (c*_t)_{t=0 t} при этом монотонно сходится к постоянному значению c^MGR. Таким образом, в модели Рамсея без технического прогресса, как и в соответствующей версии модели Солоу, удельные переменные сходятся к стационарным значениям, и рост на душу населения отсутствует.

Вспомним, что в модели Солоу для любой заданной нормы сбережения, последовательность капиталовооруженностей сходилась к своему стационарному состоянию. То стационарное состояние, в котором удельное потребление было максимальным, определялось капиталовооруженностью «золотого» правила, т. е. решением уравнения.

(учитывая, что в рассматриваемом сейчас случае р = 1).

В модели Рамсея центральный планировщик изначально максимизирует полезность от потребления на всем бесконечном горизонте с учетом межвременных предпочтений, задающихся коэффициентом дисконтирования (3. Из-за этого стационарное состояние k^MGR оказывается единственным. Заметим, что k^MGR GR для любого (3<1. Это означает, что в модели Рамсея отсутствует возможность динамической неэффективности, так как стационарная капиталовооруженность всегда ниже, чем капиталовооруженность «золотого» правила. Рациональное принятие решений планировщиком, приводящее экономику в состояние с модифицированной «золотой» капиталовооруженностью, обеспечивает отсутствие перенакопления.

Более того, из (20.6) вытекает, что k^MGR растет с увеличением (3, причем =k^GR. Это тоже интуитивно понятный и легко интерпретируемый результат — чем более терпеливо общество, тем больше оно сберегает, и тем выше оказывается долгосрочная капиталовооруженность. Однако наличие межвременных предпочтений (Р<1) приводит к тому, что стационарный оптимум задается не «золотым» правилом, а модифицированным «золотым» правилом.

Некоторое противоречие между этими двумя концепциями возникает из-за того, что в модели Рамсея используется другой критерий оптимальности — а именно, дисконтированная полезность^[1]. Если мы интересуемся тем, какое состояние экономики «предпочтительнее» для общества, k^MGR или k^GR, то вывод будет зависеть от того, в каком смысле понимать слово «предпочтительнее». Мы знаем, что если экономика находится все время в состоянии с капиталовооруженностью k^GR, то уровень потребления оказывается выше, чем в том случае, когда экономика все время находится в состоянии модифицированного «золотого» правила. Но даже если экономика изначально находится в состоянии, определяемом «золотым» правилом, обществу будет выгоднее увеличить потребление сегодня, по сравнению с потреблением «золотого» правила, чтобы после этого постепенно уменьшать потребление, сходясь к состоянию с чуть меньшей капиталовооруженностью, чем k^GR. В силу того что (3<1, потребление в начальный момент времени вносит самый большой вклад в дисконтированную полезность, так что подобный маневр увеличит значение целевой функции общества. Лишь когда экономика находится в состоянии модифицированного «золотого» правила, перераспределение потребления во времени не приведет к увеличению дисконтированной полезности.

Эти рассуждения можно выразить следующим образом. Величина k^GR является ответом на вопрос, «какой уровень капиталовооруженности в экономике предпочло бы общество, при условии, что оно обязано поддерживать этот уровень постоянно». Напротив, k^MGR отвечает на вопрос, «какой уровень капиталовооруженности в экономике из тех, которые общество само согласно поддерживать постоянно, предпочтителен для него».

• [1] См. также обсуждение в работе: McCallum В. Т. Neoclassical vs. Endogenous GrowthAnalysis: An Overview // Federal Reserve Bank of Richmond Economic Quarterly Review. 1996.№ 82 (4). P.41−71.