Оценка модели. 
Эконометрика

Метод наименьших квадратов не всегда может использоваться для оценки модели GARCH. Основная причина заключается в том, что фундамент МНК — минимизация суммы квадратов остатков, а эта сумма не всегда будет зависеть от условной дисперсии.

Для оценки модели GARCH нужно использовать метод максимального правдоподобия. Данный метод основывается на предположении о том, что вся информация о выборке содержится в функции максимального правдоподобия. Для оценки неизвестного параметра максимизируется функция максимального правдоподобия. Фактически метод заключается в том, чтобы найти наиболее близкие к реальным данным значения параметров модели. Максимальное правдоподобие может использоваться для оценки параметров как линейных, так и нелинейных моделей.

Как уже говорилось ранее, логарифмическая функция правдоподобия для модели была предложена Энглом:

где

К сожалению, процесс максимизации функции максимального правдоподобия для моделей с условной гетероскедастичностью более сложный, чем максимизация гомоскедастичных моделей. Метод нахождения производных в аналитической форме для функции максимального правдоподобия разработан только для простейших моделей GARCH. Более того, итоговые формулы сложны, и поэтому для максимизации функции максимального правдоподобия обычно используются числовые методы.

При использовании числовых методов также возникает ряд сложностей. Они связаны с максимизацией функций, имеющих несколько локальных точек экстремума. При работе с моделями GARCH это частое явление. Поэтому при использовании различных числовых алгоритмов могут быть найдены различные максимумы функции максимального правдоподобия.

На рис. 8.11 представлена зависимость значений функции максимального правдоподобия от параметра ?. Как можно увидеть, функция достигает своего максимума при? = С и своего локального максимума при 0 = А. Как показали в своей работе К. Брукс с соавторами [Brooks, Burle, Persand (2001)], разные оптимизационные методы могут приводить к разным оценкам коэффициентов модели и стандартных ошибок модели. Так, в случае, приведенном на рис. 8.11, в качестве оптимума могут выступать как точка А, так и точка С. На практике ситуация усложняется еще больше, поскольку приходится искать максимум функции максимального правдоподобия по отношению к нескольким параметрам. Кроме того, сложности при оптимизации функции максимального правдоподобия могут возникать, если функция не имеет в окрестности экстремума.

Рис. 8.11. График зависимости функции максимального правдоподобия от параметра ?

ярко выраженного максимума. В этом случае также достаточно сложно найти оптимальное значение параметра.

Э. Бернд, Б. Холл, Р. Холл, Д. Хаусман [Berndt, В. Hall, R. Hall Hausman (1974)] предложили итерационный способ нахождения максимума подобных функций. Этот метод, получивший в честь авторов название ВННН, заключается в пошаговом нахождении первых и вторых производных функции максимального правдоподобия.

В качестве примера рассмотрим ряд значений однодневных приращений индекса DAX в период со 2 апреля 1998 г. по 23 октября 2003 г. Ранее было показано, что наиболее адекватным образом модель описывает процесс ARIMA (0, 1, 0). Однако тест Льюнга - Бокса показал наличие автокорреляции в остатках модели.

Наличие в модели ARCH эффекта может быть также определено с помощью теста ARCH-LM. В рамках данного теста оценивается уравнение.

(8.17).

где ег — остатки модели. Проверяется гипотеза о том, что.

Таким образом, принятие гипотезы означает, что в модели отсутствует автокорреляция остатков. Для того чтобы провести тест ARCH-LM, воспользуемся возможностями эконометрического пакета Eviews (табл. 8.20−8.22).

Таблица 8.20. Тест ARCH-LM: один лаг.

Таблица 8.21. Тест ARCH-LM: три лага.

Таблица 8.22. Тест ARCH-LM: шесть лагов.

Был построен тест ARCH-LM с одним, тремя и шестью лагами. Во всех случаях наблюдается значимая связь. В модели определенно присутствует автокорреляция.

Построим оценку однодневных приращений индекса DAX в рассматриваемый период, используя модели ARCH (1) (табл. 8.23).

Таблица 8.23. Оценка модели со свободным членом при помощи модели ARCH (1).

Variance Equation

Как очевидно из табл. 8.20, на 5%-ном уровне значимости свободный член модели статистически незначим. Исключим его из уравнения регрессии (табл. 8.24).

Таблица 8.24. Оценка модели без свободного члена при помощи модели ARCH (1).

После исключения из модели свободного члена значения информационных критериев Шварца и Ханнан - Куина уменьшились. Следовательно, исключение повышает качество модели.

Проведем тест ARCH-LM на автокорреляцию остатков в этой модели (табл. 8.25).

Таблица 8.25. Тест ARCH-LM: три лага.

Уже при трех лагах в остатках присутствует автокорреляция.

Построим модель ARCH (2) для описания однодневных приращений индексов DAX и проведем тест ARCH-LM для остатков новой модели (табл. 8.26−8.28).

Таблица 8.26. Тест ARCH-LM: один лаг.

Таблица 8.27. Тест ARCH-LM: три лага.

Таблица 8.28. Тест ARCH-LM: шесть лагов.

Итак, начиная с трех лагов, в остатках модели присутствует статистически значимая связь. К сожалению, используя возможности модели ARCH, нам не удалось избавиться от автокорреляции остатков. Поэтому не остается ничего другого как использовать модель GARCH (1,1) (см. табл. 8.26).

Таблица 8.29. Оценка модели при помощи модели GARCH (1, 1)

Dependent Variable: DDAX.

Method: ARCH-ML (Marquardt) -Normal distribution.

Sample (adjusted): 2 2412.

GARCH = C (1) + C (2) RESID (-1) 2 + C (3) GARCH (-1).

Все регрессоры в условной дисперсии значимы. Построим тест ARCH-LM, чтобы проверить, удалось ли нам избавиться от автокорреляции в остатках (табл. 8.30−8.33).

Таблица 8.30. Тест ARCH-LM: один лаг.

Таблица 8.31. Тест ARCH-LM: три лага.

Таблица 8.32. Тест ARCH-LM: шесть лагов.

Таблица 8.33. Тест ARCH-LM: 12 лагов.

Итак, тест ARCH-LM был построен для моделей с лагом, равным единице, трем, шести и 12. Во всех моделях уже на 5%-ном уровне значимости есть основания для отклонения гипотезы о значимости связи, т. е. о присутствии автокорреляции.

С помощью модели GARCH (1,1) нам удалось корректно описать модель. Возникает вопрос: почему не хватило мощности моделей ARCH (1) и ARCH (2)? Дело в том, что как отмечалось раньше, модель GARCH (1, 1), содержащая только три параметра в уравнении условной дисперсии, учитывает влияние на условную дисперсию бесконечно большого количества квадратов ошибок.

• 5. Перечислите типичные нестационарные процессы. С помощью какой операции можно привести эти процессы к стационарному виду?
• 6. Опишите два способа идентификации модели ARMA.
• 7. Какие сложности возникают при использовании коинтеграции в первоначальном виде?
• 8. В чем заключается основное отличие моделей ARCH и GARCH от моделей ARMA и ARIMA?
• 9. Перечислите основные вопросы, возникающие у исследователя при использовании модели ARCH в первоначальном виде.
• 10. В чем состоит основное преимущество моделей GARCH перед моделями ARCH?