Равновесные траектории. 
Макроэкономика. 
Часть 2

Рассмотрим теперь несколько другую задачу оптимизации:

Здесь функция и такая же, как и в параграфе В.1, а горизонт планирования Топять же может быть как конечным, так и бесконечным (7'=°°). Такая задача интерпретируется как выбор репрезентативного потребителя между потреблением и сбережениями. Каждый период времени доход агента, который он считает заданным, состоит из заработной платы w_t и процентов от инвестированных сбережений по ставке r_v

Заметим, что по причинам, изложенным в параграфе В.1, мы сразу же не указываем в качестве условий задачи неотрицательность потребления в каждом периоде, с, >0. В то же время мы не накладываем и условия неотрицательности сбережений s,>0. Однако если допустить возможность неограниченно брать в долг (s,<0), то решения интересующей нас задачи не будет существовать. Очевидно, агент имеет возможность занимать и потреблять любое количество продукта, какое он только захочет, выплачивая проценты по долгу путем новых, еще больших займов в следующих периодах. Такое поведение называется схемой Понци (строительством финансовой пирамиды). В этом случае бюджетное ограничение c_t +s_t <(l + ?})s_t_₁ + w_t фактически не является ограничением. Поэтому к задаче (В. 16) необходимо добавить ограничение па займы, чтобы исключить возможность финансовых пирамид. Такого рода условия называются условиями No-Ponzi Game. Мы рассмотрим их происхождение для случая как конечной, гак и бесконечной траектории.

Последовательность (c*_t, s*_t)J₌₍₎, которая удовлетворяет задаче (В.16) с наложенным условием No-Ponzi Game, мы будем называть решением задачи потребителя.

Конечный горизонт планирования

Рассмотрим задачу (В.16) на конечном горизонте планирования. Условием No-Ponzi Game в данном случае обычно является требование, чтобы в конце периода планирования долг потребителя не был положительным. Поскольку долг, накопленный к моменту времени Т, представляет собой величинулу, то требование заключается в том, чтобы лу >0. Однако удобнее рассматривать не саму величину долга, а долг, приведенный к начальному моменту времени. Поэтому условие No-Ponzi Game для задачи с конечным горизонтом планирования можно записать так:

Таким образом, задача потребителя выглядит следующим образом:

Заметим теперь, что задачу потребителя (В. 18) можно переписать в более удобном виде, превратив все бюджетные ограничения и условие No-Ponzi Game в межвременное бюджетное ограничение. Для этого рассмотрим бюджетное ограничение в последнем периоде Т. Выразим из него величину s_r_j, и подставим ее в предыдущее бюджетное ограничение.

Поступая теперь так же с величиной s_T_₂ и продолжая этот процесс до бюджетного ограничения начального периода, мы получим.

Учитывая теперь условие No-Ponzi Game, мы приходим к единому ограничению Это неравенство означает, что дисконтированный поток потребления репрезентативного агента во все моменты времени (приведенный к начальному моменту) не должен превосходить его совокупного дохода (тоже приведенного к начальному моменту времени). Доход этот состоит из начальных сбережений и потока заработных плат. Поскольку доход потребителя считается экзогенно заданным, в правой части межвременного бюджетного ограничения стоит некая постоянная величина. Обозначим ее через I. Тогда задача, которую решает потребитель, перепишется следующим образом:

Необходимые и достаточные условия для решения такой задачи, эквивалентной исходной, можно получить, воспользовавшись теоремой Куна — Таккера. Пусть А. — множитель Лагранжа для межвременного бюджетного ограничения. Тогда функция Лагранжа имеет вид.

Условия первого порядка и условия дополняющей нежесткое™ записываются как.

Из (В.19) сразу же вытекает, что А>0, а тогда бюджетное ограничение выполняется как равенство:

Условие (В.22) очень похоже на условие (В.8) для конечномерной оптимальной задачи, и, как мы сейчас увидим, тоже является прототипом условия трансверсальности для задачи потребителя на бесконечном горизонте. Из (В.22) вытекает, что sf =0, т. е. в терминальный момент времени сберегать неоптимально.

Кроме того, раз межвременное бюджетное ограничение выполняется как равенство, то и все бюджетные ограничения в исходной задаче выполняются как равенства.

Наконец, комбинируя условия (В. 19)—(В.20) в соседние моменты времени, и избавляясь от множителя Лагранжа X, мы снова получаем условия первого порядка (уравнение Эйлера).

Таким образом, мы приходим к следующему утверждению.

Утверждение В.2. Последовательность (с*, s*_t)j₌₀ при заданном начальном значении s__x =s__x является решением задачи (В.18) на конечном горизонте тогда и только тогда, когда выполняются условия {В.22)—(В.24).

Бесконечный горизонт планирования

Рассмотрим теперь задачу (В. 16) на бесконечном горизонте планирования. В этом случае условие No-Ponzi Game является обобщением условия (В. 17) и имеет вид.

Содержательно это требование означает, что в пределе весь долг потребителя должен быть выплачен. Таким образом, задача потребителя имеет вид Аналогично случаю конечного горизонта планирования, ограничения в задаче (В.25) можно переписать через межвременное бюджетное ограничение. Выражая из бюджетного ограничения для произвольного момента t величину s_t_j, подставляя ее в предыдущее бюджетное ограничение, а затем продолжая этот процесс с s,_₂, …,% мы получаем.

Переходя в этой формуле к пределу t—>°° и учитывая условие No-Ponzi Game, мы получаем межвременное бюджетное ограничение на бесконечном горизонте.

Обозначая снова правую часть (доход на всем бесконечном горизонте) этого ограничения через I, а соответствующий множитель Лагранжа через X, можно записать функцию Лагранжа как.

Условия первого порядка и условия дополняющей нежесткое™ записываются как.

Из (В.26) сразу же следует, что X>0, и что межвременное бюджетное ограничение выполняется как равенство. Это соответствует тому, что решение задачи потребителя характеризуется следующим равенством:

которое называется условием трансверсальности.

Подчеркнем важное различие между условием No-Ponzi Game и условием трансверсальности. Первое есть свойство самой задачи, а второе — характеристика оптимального решения. Условие No-Ponzi Game означает, что сбережения агента в пределе не должны быть отрицательными. Условие же трансверсальности, напротив, запрещает сбережениям агента быть слишком большими.

Как и в конечномерном случае, бюджетные ограничения во все моменты времени будут выполняться как равенства.

Наконец, условия теоремы Куна — Таккера (В.26)—(В.27) дают нам уже знакомые условия первого порядка, которые выполняются во все моменты времени:

Предложение В.2. Последовательность (c_t , s])" ₀ при заданном начальном значении .v_, =является решением задачи {В.25) на конечном горизонте тогда и только тогда, когда выполняются условия (В.29)—(В.31).