Особенности содержания алгебраического материала и организации работы с ним с учетом полезависимости-поленезависимости

Одной из причин неуспеваемости учащихся в школе называют их неумение отнести задачу к определенному типу задач, способ решения которых учащимся известен, т. е. отсутствие восприятия структуры задачи, причем даже тогда, когда она явно выражена. С точки зрения психологии этот довод можно интерпретировать как восприятие структурированного поля как размытого, т. е поля с нечетко выделенными элементами. Размытость может проявляться через:

• • размытость условия (незнакомые связи или объекты, используемые в задаче, условие, подразумевающее какое-либо разделение объекта на части и исследование частей, вариативность условия, недостаточность данных);
• • размытость оператора (неотнесение к теме, отсутствие объясняющей схемы, незаданность границ исследования объекта (решения задачи), вариативность оператора задачи);
• • размытость заключения (открытое требование задачи, условность ответа).

Проблемой такого взгляда на методику обучения математике является выделение математических задач, соответствующих ситуации структурированного, размытого и неопределенно-размытого поля.

Задачи второго и третьего типа тесно связаны с математическими знаниями и умениями, и поэтому результаты диагностики могут быть неверными из-за отсутствия у ученика соответствующих знаний, а не из-за отнесенности к определенному стилю.

Для диагностики полезависимости можно использовать как геометрический, так и алгебраический материал.

Учитывая трудности, которые испытывают школьники, осваивая символьный язык математики, отражающий специфику предмета, покажем возможности предъявления диагностических задач на алгебраическом материале. Именно при изучении алгебры и начат анализа преимущественно используется символьный язык.

Для этого удобно использовать задачи, запись условия которых вполне однозначна, но провоцирует двоякое восприятие, например такие, как выражения log₂.r или sinху.

Пример

Решите уравнение log ₂ху — log₂^ = 0.

Это уравнение характеризуется лежащей на поверхности жесткой структурой суммы логарифмов. В глаза бросается прежде всего структура. Поэтому поленезависимые учащиеся воспринимают условие как структурированное поле и гораздо чаще делают ошибки в интерпретации условия типа log₂.rу = log₂(ху), тем более если дальнейшее решение задачи не провоцирует ту или иную интерпретацию. Полезависимые учащиеся, воспринимая любое поле (условие и теоретическое знание) как размытое, при восприятии этого условия выполняют структурирование ноля на основе алгоритма и решают задачу на основе интерпретации условия log ₂ху как (log ₂х)у, читая его слева направо, но порядку.

Решение 1.

ОДЗ: х > 0; у • log^r — log^r = 0; log.рс (у — 1) = 0; log^ = 0 или у = 1; X = 1 или у = 1.

Ответ: х = 1, у е /? или х> 0, у = 1.

Это наиболее «хорошая» форма решения для полезависимых учащихся, поскольку они в большинстве своем не анализируют область допустимых значений (отсутствие указаний на границы существования факта является одним из показателей размытости поля). Интерпретация ответа в этой задаче проблематична для полезависимых учащихся, так как они нс дополняют восприятие ответа х = 1 или у = 1 анализом поля (теоретические знания о решении уравнения с двумя неизвестными), а просто переносят в ответ другую форму записи совокупности (1; 1).

Поленезависимыс учащиеся чаще предлагают решение в следующем варианте изложения.

Решение 2.

Ответ: х > 0; у = 1.

Возможен и иной вариант решения, встречающийся гораздо реже предыдущих.

Решение 3.

Это решение оказывается характерным также для полезависимых учащихся, но хорошо обученных математике в традиционной методике, ориентированной на восприятие структуры прежде всего. Поэтому они стали рассматривать условие как сумму логарифмов, по в силу своего когнитивного стиля переключили внимание на периферийные компоненты и упростили сначала первый компонент разности^[1].

Таким образом, более успешными при решении данной задачи оказываются полезависимые учащиеся. Ошибки полезависимых учащихся при решении подобных задач заключаются в отсутствии анализа элементов условия на основе определений соответствующих понятий (решение уравнения с двумя неизвестными, область допустимых значений, сложная функция).

Ошибки поленезависимых учащихся связаны с гипертрофированным вниманием к структуре, что подтверждает утверждение о необходимости определенной организации работы с математическими задачами, которая должна способствовать развитию умения восприятия и переработки информации способами, соответствующими противоположному стилю.

Следует отметить, что изменение в условии приведенного уравнения разности на сумму приводит к тому, что поленезависимые учащиеся наталкиваются на неразрешимость преобразованного выражения. Это заставляет их вернуться к анализу размытого поля условия, что снижает диагностический эффект и повышает результативность решения задачи поленезависимыми учащимися. Поэтому при составлении набора задач с любой из этих целей учитель должен хорошо себе представлять особенности восприятия условия учащимися различных когнитивных стилей^[2].

Кроме того, весьма показательны для диагностики полезависимости учащихся выражения, рукописное изложение которых может вызвать двоякое восприятие.

Пример

Вычислите log₂%/64.

Это выражение прочитывается ¾ полезависимых учащихся как log₂/64 и ½ поленезависимых учащихся как (log₂V64).

Оба рассуждения оказываются возможными, поскольку числа подобраны таким образом, что вычисления и в том, и в другом случае не вызывают затруднений:

• а) Iog₂>/64 = log₂4 = 2;
• б) (log₂V64)³ = (log ₂8)³ = З³ = 27.

Особенность иолезависимого восприятия заключается в том, что учащийся воспринимает поле в целом, не расчленяя его на части и не просчитывая шаги вперед и вглубь. Поэтому, в частности, сложные функции в большинстве случаев представляют для полезависимых учащихся трудности. Они воспринимают ноле как неструктурированное, поэтому для них неестественно было бы отделить от воспринимаемого сначала логарифм, а потом и показатель степени, выделив такую иерархическую структуру, как V64, log₂V64, (log₂V64)³. Они читают слева направо, как написано, постепенно разбираясь в этом.

В этой ситуации полезависимые учащиеся опять окажутся успешнее в результатах решения задачи, чем поленезависимые учащиеся. Однако этот успех не является результатом их глубокого понимания математических методов. Лучшие результаты полезависимых учащихся предопределяются при решении приведенных задач неотъемлемыми свойствами их когнитивного стиля. Это заключение приводит к двум выводам:

• • необходимо стимулировать активное состояние полезависимых элементов восприятия у всех учащихся;
• • существенные характеристики приведенных задач должны быть включены в требования к составлению набора задач, не только диагностирующих полезависимость восприятия, но и развивающих его.

Еще одна группа задач подчиняется аналогичному принципу «чтения слева направо» полезависимыми учащимися.

Пример

В этом случае для полезависимых учащихся оказывается более рациональным перемножение 4,8 и 1,2, а затем вычисление ^5, 76 и т. д. Подобных задач в различных пособиях достаточно много. Однако важно в определенный ситуации подобрать такие числа, которые при вычислениях «в лоб» не заводили бы учащихся «в тупик». Например, значение квадратного корня выражаюсь бы конечной десятичной дробью. Если в приведенной задаче изменить только одну цифру, например, вместо числа 4,8 взять число 4,3, то полезависимые учащиеся уже на втором шаге встанут в тупик, не имея возможности вычислить 7⁶¹. Измененная ситуация камуфлирует диагностику полезависимости и в то же время может выступать тормозом на этапе закрепления приобретенных свойств иоленезависимости.

Четвертая группа задач отличается гораздо более высокой степенью сложности для неподготовленных учащихся. Эти задачи представляют собой знакомую учащимся четкую структуру, элементами которой являются незнакомые учащимся одинаковые объекты. Например, до знакомства с понятиями In#, sin#, cos# предлагается следующий пример.

Пример У простите:

Эти задачи учащиеся вполне могут решить без специальных знаний, но полезависимые учащиеся реагируют на такие задачи однозначно: «Это мы не проходили. Это я не могу».

Таким образом, в число требований к составлению набора математических задач для диагностики формирования когнитивного стиля «полезависимость-поленезависимость» при обучении математике необходимо внести следующие:

• 1) запись условия задачи в отличие от ее устного изложения может быть неоднозначно прочитана;
• 2) условие задачи однозначно, но провоцирует двоякое восприятие;
• 3) условие задачи представляет собой четкую структуру, элементами которой являются незнакомые учащимся одинаковые объекты.

Соответствующий указанным первым двум группам набор задач может служить средством устранения ошибок учащихся, связанных с поленезависимым восприятием алгебраического материала, а последние две группы задач могут выполнять развивающую функцию для полезависимых учащихся в гораздо большей степени, чем для поленезависимых учащихся, где тот же набор задач будет лишь закреплять привычную форму мышления.

Гармоничное развитие учащихся требует дополнять восприятие поленезависимых учащихся ситуациями, стимулирующими ориентацию на иоле, восприятие иолезависимых учащихся развивать в сторону иоленезависимости, что происходит в современной школе на уроках математики гораздо чаще.

В связи с этим остро встает вопрос об исследовании организации совместного обучения учащихся с различными учебными стилями.

При исследовании когнитивного стиля «полезависимость-поленезависимость» оказывается, что зрительно-вестибулярная зависимость, характер межличностных отношений, способность к выделению подструктур — это коррелирующие между собой стороны одного и того же когнитивного стиля. При этом воздействие на одну из сторон может повлиять на развитие другой. Зрительно-вестибулярная зависимость не подвержена эффекту научения. Однако возможно воздействие на характер межличностных отношений и опосредованно на способности к выделению подструктур. Влияние характера межличностных отношений обнаруживается при соблюдении двух условий — реальный характер взаимодействия и недостаточная структурированность ситуации.

Таким образом, если на уроке организовать реальное взаимодействие полезависимых и поленезависимых учащихся, предложив им недостаточно структурированную задачу, то совместная деятельность, направленная па достижение общей цели, приведет к успеху быстрее, чем учение раздельное. Это связано с тем, что полезависимые учащиеся более компетентны в межличностных отношениях. Они больше полагаются на внешние референты и вследствие этого получают больше информации в общении друг с другом. Полезависимые учащиеся способны активизировать общение, извлечь больше информации из других и заставить эту информацию опубликовать. Поленезависимые учащиеся в большей степени способны преодолеть контекст, если и когда им обеспечено предварительно погружение в этот контекст, полный охват его. Поэтому на первом этапе полезависимые и поленезависимые учащиеся, находясь каждый в комфортных условиях, овладевают своей частью материала. На этапе завершения работы они могут обогатить друг друга необходимыми навыками. Стили кодирования информации научению не подвержены, поэтому в дальнейшем мы будем их безусловно учитывать, но не стремясь их корректировать или развивать, а указывая лишь па необходимость их преимущественного привлечения в тот или иной момент.

Параметрами эффективного взаимовлияния полезависимых и поленезависимых учащихся является групповая работа в смешанных группах учащихся различных учебных стилей над недостаточно структурированной задачей.

• [1] Копелевым Ф. И. Возможные способы учета когнитивных стилей в процессеобучения геометрии // Проблемы теории и практики обучения математике: сб.науч. работ, представленных на Всероссийскую научную конференцию «54-е Гер-ценовские чтения» / под ред. В. В. Орлова. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2001. С. 173−174.
• [2] Крутецкий В. Л. О некоторых особенностях мышления школьников …