Теорема, виды теорем, структура. 
Логико-математический анализ теорем. 
Методические особенности их изучения

Теорема (в переводе с греч. означает «рассматриваю», «обдумываю») — математическое предложение (утверждение), истинность которого установлена с помощью доказательства.

С точки зрения логики теорема представляет собой высказывание, часто в форме импликации или эквиваленции.

Среди теорем, представимых в виде импликации, выделяют такие частные виды, как «следствие» (доказывается с помощью одной теоремы), «лемма» (важна как ступень к доказательству другой теоремы), необходимое условие, достаточное условие. Среди теорем, представимых в виде эквиваленции, — необходимое и достаточное условие (истинны и прямое, и обратное утверждения).

Также в школьном курсе математики, особенно в курсе алгебры, встречаются теоремы-тождества и теоремы-формулы (выраженные языком математических символов), например теоремы о свойствах неравенств, уравнений и многие другие.

Особый вид теорем — это теоремы существования (отсутствуют условие и заключение, но утверждается существование объекта, обладающего определенными свойствами). Обычно после введени я математического понятия необходимо показать, что оно существует. Так, например, после введения определения параллельных прямых необходимо показать их существование. Это можно сделать (если тема перпендикулярности предшествует теме параллельности) через построение непересекающихся прямых на плоскости (две перпендикулярные прямые к одной прямой), а они являются параллельными на плоскости.

Теоремы с доказательствами составляют ядро теории школьного курса математики. В курсе геометрии наиболее распространены теоремы, логическая структура которых представлена в виде импликации или эквиваленции. Структура такой теоремы включает разъяснительную часть, множество объектов, на котором рассматривается теорема, условие, заключение, логические связки.

Заключение

и условие могут состоять из одного простого высказывания, тогда утверждение называют простым, если же условие или заключение состоят из нескольких простых высказываний, то утверждение называют сложным. Работа с такими теоремами предполагает выполнение учителем логико-математического анализа (ЛМА).

Логико-математический анализ теоремы включает:

• • логический анализ, который предусматривает раскрытие логической структуры предложения, т. е. выделение простых высказываний, из которых сконструировано данное, вида суждения и способа его конструирования, т. е. выделение логических связок, с помощью которых оно образовано, и их последовательности. (Наиболее часто используемые логические связки: «не», «и», «или», «если, то», «тогда и только тогда», «существует» и т. д.);
• • математический анализ, который раскрывает математическое содержание выделенных элементов структуры.

Анализ формулировки теоремы (А => В) проводится для дальнейшего проведения доказательства. С этой точки зрения полезно сформулировать утверждения:

• • обратное данному (условие и заключение исходного утверждения меняют местами): В => А;
• • противоположное данному (к условию и заключению применяют отрицание): 1А => 1 В;
• • обратное противоположному или противоположное обратному: 15 => ~|А.

Согласно закону контрапозиции исходное прямое утверждение равносильно противоположному обратному, что используется при доказательстве теорем.

Составление таких утверждений помогает правильно выделить разъяснительную часть теоремы, так как у утверждений обратного, противоположного и обратного противоположному данному утверждению она одинакова.

Теоремы школьного курса формулируются в основном в импликативной (условной, с использованием слов «если…, то…») и категоричной (утвердительной) формах. Для выделения структуры (условия, заключения…) целесообразно формулировать теорему в импликативиой форме.

Итак, выполнение ЛМА предполагает:

• • установление формы формулировки;
• • перевод, если необходимо, в импликативную форму;
• • запись структуры теоремы, т. е. вычленение разъяснительной части, условия, заключения с выделением простых высказываний, и содержания структурных элементов;
• • определение вида теоремы (простая или сложная);
• • формулирование утверждений: обратного данному, противоположного данному и обратного противоположному. Определение их истинности или ложности.

Перевод в импликативную форму облегчает учащимся выделение структуры теоремы, в частности условия и заключения. Например, при формулировке «сумма углов треугольника равна 180°» не всегда ученики могут дать ее со словами «если…, то», так как нужно ввести разъяснительную часть, а именно ближайшее родовое понятие к треугольникам — многоугольники. В условной форме теорема формулируется: «Если многоугольник является треугольником, то сумма углов равна 180°».

Формулирование утверждений, обратных и противоположных данному, позволяет уточнить разъяснительную часть.

В качестве примера выполним анализ теоремы «Сумма смежных углов равна 180°», а также утверждений: а) обратного данному; б) противоположного данному; в) противоположного обратному.

Теорема сформулирована в категоричной форме. В импликативной форме теорема будет иметь вид: «Если углы смежные, то их сумма равна 180°».

Вид суждения: общеутвердительное, поэтому уточним формулировку: «Если любые два угла смежные, то их сумма равна 180°» (1).

Утверждение, обратное данному: «Если сумма двух углов равна 180°, то углы смежные» (2), общеутвердительное («Если любые два угла в сумме равны 180°, то они смежные»).

Утверждение, противоположное данному: «Если углы не смежные, то их сумма не равна 180°» (3), общеотрицательное.

Утверждение, обратное противоположному: «Если сумма двух углов не равна 180°, то углы не смежные» (4), общеутвердительное.

Логический анализ утверждения представлен в табл. 8.1.

Математический анализ оформим в виде таблицы (табл. 8.2).

Логический анализ утверждения.

Таблица 8.2

Математический анализ утверждения.

Символическую запись для утверждения (1) можно прочитать, учитывая математическое содержание его структурных элементов, так: «Для любых двух углов из множества пар углов выполняется следующее: если эти два угла смежные, то их сумма равна 180°».

Этапы работы с теоремой фактически такие же, как и этапы работы с понятием, но содержание некоторых этапов отличается. Поэтому выделим специфику этапов при работе с теоремой.

Профессиональный этап осуществляет учитель сам.

На этом этапе выполняется ЛМА теоремы, который позволит на уроке дать формулировку теоремы в символьной форме, если ученики готовы к этому. Во всяком случае, включение раздела «Элементы логики» в курс математики, а также ознакомление с ним в процессе изучения информатики согласно образовательным стандартам предполагает овладение учащимися старшей школы символьными записями утверждений.

Также на этом этапе учитель отбирает актуализируемые знания и умения для введения как формулировки теоремы, так и доказательства, выделяет идею (идеи) доказательства.

Например, в теореме о сумме углов треугольника одна основная идея метрическая: замена величины одних объектов на такую же величину (численно) другого объекта. Какого? 180° связывается с развернутым углом. Но где его взять? А точнее, прямую, которая его образует и позволит составить сумму углов треугольника. Отсюда другая внутридисциплинарная идея связана со свойствами параллельных прямых. И она как раз и объясняет выбор прямой, параллельной одной из сторон треугольника, на этапе дополнительного построения при проведении доказательства. Конечно, выделение идеи происходит при доказательстве уже на этапе поиска способа доказательства.

Подготовительный этап включает следующие подэтапы:

• • актуализация знаний и умений, выделенных на профессиональном этапе;
• • мотивация необходимости изучения факта;
• • подведение к теоретическому факту.

Эти три подэтапа часто осуществляются на уроке одновременно. Как и при работе с понятием, они могут быть реализованы через демонстрацию использования факта в окружающем мире. Например, почему чаще всего пешеходный переход прокладывают перпендикулярно тротуару (для теоремы о перпендикуляре и наклонной к одной прямой).

Также может быть предложена предметная проблемная ситуация через возможность решения какой-либо задачи, если было бы истинно утверждение (теорема). Еще одним приемом может быть использование софизма, построенного на невыполнении утверждения (теорема). Может быть организована практическая работа, например, при введении теоремы о сумме углов треугольника предлагается вырезать треугольник, а далее найти сумму его углов, просто отрезав их и сложив вместе. Далее выдвигается гипотеза, что сумма углов треугольника, возможно, равна 180°.

Конечно, возможны и другие приемы мотивации (формирования УУД «смыслообразование») и подведения к теоретическому факту.

Основной этап:

• • формулировка теоремы. Работа с формулировкой, как и с определением понятия. На этом этапе также целесообразно обсудить с учащимися, к каким видам теорем относится утверждение, если ученики с ними знакомы. Так, для теоремы о сумме смежных углов условие «углы смежные» является достаточным условием (признаком) для условия. А условие «сумма углов равна 180°» является необходимым (свойством) для условия «углы смежные». (Подробнее о необходимых и достаточных условиях, признаках и свойствах, ознакомлении с ними учащихся будет рассмотрено в теме об элементах логики);
• • перевод из категорической формы в импликативную, если необходимо;
• • выделение условия и заключения;
• • мотивация необходимости доказательства. Например, при введении суммы углов треугольников после выполнения практической работы на подготовительном этапе учитель сообщает, что мы узнали про сумму углов только для нескольких треугольников, а их бесконечно много. Кроме того, могут быть и другие погрешности, поэтому следует обосновать строго для всех треугольников, а это возможно, только применяя доказательство;
• • анализ условия и заключения;
• • поиск способа доказательства. Составление схемы доказательства или образца доказательства.

Поиск способа доказательства может быть организован по-разному. Он может быть осуществлен уже на подготовительном этапе при подведении к теоретическому факту.

Пример

При введении теоремы о признаке перпендикулярности прямой и плоскости на подготовительном этапе можно предложить учащимся рассмотреть ситуацию. Нам надо поставить палатку. У нее есть центральный стержень, на который будет крепиться палатка. Как он должен быть расположен по отношению к поверхности, на которой располагается палатка? Да, перпендикулярно. Предложите способы его установки. Ученики предлагают: прикрепив веревки к его вершине, натянем их, привязав к колышкам, вбитым в землю. Два колышка хватит? Выясняем, что нет, так как стержень будет вращаться в одной полуплоскости. Тогда предлагают еще два колышка, чтобы стержень стоял перпендикулярно поверхности. Каждая пара колышков, как две точки, задаст прямую. Таким образом, выходим на теоретический факт и способ доказательства через построение равнобедренных треугольников, медианой и высотой которых является отрезок (центральный стержень).

Схема доказательства или поисковая схема выполняется так же, как в теме о задачах, так как доказательство теоремы — это фактически решение задачи на доказательство.