Характеристики понятия (содержание и объем) и связь между ними

Освоение понятий предполагает выделение свойств. Свойство — это то, что каким-то образом характеризует вещь и не требует для своего описания более одной вещи^[1].

Существенными свойствами понятия являются те свойства, без которых понятие (объект для понятия) не существует. При их помощи выделяются и обобщаются предметы интересующего нас множества. В литературе встречается и термин «существенные признаки». Но слово «признак» в школьном курсе математики имеет другой смысл, поэтому будем употреблять слово «свойство». Иногда под существенными свойствами объекта для понятия понимаются такие, каждый из которых, взятый отдельно, необходим, а взятые в совокупности достаточны для отделения данного понятия от остальных. Но в этой трактовке термин «существенные» скорее характеризует определенный набор, а не отдельные свойства, поэтому в дальнейшем под существенными свойствами будем понимать первую трактовку. Например, можно выделить следующие существенные свойства ромба. Быть параллелограммом, являться четырехугольником, иметь равные все стороны, иметь равные противоположные углы, диагонали в точке пересечения делятся пополам, диагонали лежат на биссектрисах углов ромба и т. д.

Конечно, таких свойств у объекта может быть много, поэтому часто обращаются к достаточному набору свойств. Достаточные свойства или, точнее, достаточный набор существенных свойств — набор существенных свойств, который позволяет однозначно выделить интересующее нас множество объектов из всех остальных.

Так, например, для ромба достаточный набор свойств могут образовывать свойства: быть параллелограммом и иметь все равные стороны. Другой достаточный набор: быть параллелограммом и иметь диагонали, делящие углы ромба пополам. Таких наборов может быть несколько. Они образуют либо определение понятия, либо его признаки.

В математике, как уже писали, чаще всего используется логический подход к трактовке понятия. С точки зрения логики любое понятие характеризуется термином, смыслом и знамением.

Термин (имя) — это языковое выражение, используемое для обозначения конкретных вещей.

Этими вещами могут быть предметы, свойства, отношения, процессы, явления и т. д. Предметы могут быть как материальными, так и идеальными, созданными воображением человека. Предмет, который обозначен термином, и является значением имени. Смысл, или концепт имени, — это способ, с помощью которого термин обозначает предмет^[2]. Приведем пример, разъясняющий, что такое значение и смысл имени. Если взять термин понятия «Модест Петрович Мусоргский», то значением этого понятия будет конкретный человек, носивший это имя. А смыслов может быть несколько — «известный композитор», «создатель оперы „Хованщина“», «член кружка „Могучая кучка“». Если мы рассматриваем термин, то имеем в виду, во-первых, какой-то объект, который именуется этим термином, — значение имени, а во-вторых, то объективное содержание, которое выражается термином, — смысл термина. Термин «клетка» на уроке биологии и химии будет иметь смысл частицы живого организма, а на уроке математики обозначать частицу определенным образом разграфленной тетради. При этом для биологии и химии значение будет одно и то же, а вот смысл несколько отличаться, так как описываться на этих предметах клетка будет по-разному и будут изучаться ее свойства с разных сторон.

Математические понятия также характеризуются термином, смыслом и значением. Терминами понятий мы обозначаем математические объекты, которые изучает математика; значениями понятий являются идеи; смысл понятий может быть передан определением, системой аксиом, признаком, описанием свойств объектов, существенных для понятия. Один и тот же предмет может иметь множество разных имен. Например, языковые выражения «2 + 1»,.

«V9», «2-», «корень уравнения х + 7 = 10» являются именами одо ного и того же предмета — числа 3. Выражения обозначают один и тот же предмет, т. е. имеют одно и то же значение, но смысл разный. Смысл имени «V9» состоит в том, что именуемое число может быть получено извлечением арифметического квадратного корня из числа 9, а смысл имени «корень уравнения х + 7 = 10» — именуемое число может быть получено путем решения простейшего уравнения х + 7 = 10.

Также один и тот же математический объект может иметь разные смыслы. Например, модуль числа имеет аналитический, геометрический смысл. Объект может иметь смысл (определить можно что угодно), но не иметь значение (может не существовать). И хотя в школе термины «смысл» и «значение» используются, но на вопрос: «Имеет ли смысл и значение равенство ^9-у² = -5у² -16.

разные учителя и ученики дают разные ответы. Конечно, смысл равенство имеет, так как имеют смысл выражения, стоящие в правой и левой части равенства (область определения уравнения как предиката), а вот значения нет.

Такую связь между термином, значением и смыслом можно изобразить в виде семантического треугольника (рис. 7.2). Треугольник называют треугольником Фреге.

Рис. 7.2.

Надо заметить, что связь между вершинами треугольника может быть неоднозначна. Это верно и для математики. Одному значению понятия может соответствовать не один термин, или смысл. Также одному термину может соответствовать несколько смыслов и даже значений, хотя математику отличает однозначность.

Рис. 7.3 i 132.

Например, в школьном курсе для термина «многоугольник» значением может быть часть плоскости, ограниченная замкнутой простой ломаной, и сама эта ломаная. Аналогичная ситуация с термином «угол». Поэтому при введении понятия желательно показать эту неоднозначность, а рассматривая понятие, договариваться, в каком смысле и значении его будем понимать.

Например, пересечением шестиугольника и пятиугольника на рисунке могут быть как две точки, так и четырехугольник в зависимости от смысла многоугольника (его определения) (рис. 7.3).

В методике обучения математике любое понятие характеризуется объемом и содержанием. Как эти характеристики понятия связаны с характеристиками понятия в логике?

Объем понятия — множество объектов, выделяемых и обобщаемых в понятии. Содержание понятия — совокупность свойств объектов, существенных для понятия. А значит, объем математического понятия — это и есть множество значений понятия (представителей, образов), а содержание отражает смысл понятия, которое описывается разными существенными для понятия свойствами. Но свойств может быть много, поэтому выделяют основное содержание — достаточный набор свойств, т. е. все те свойства, каждое из которых, взятое отдельно, необходимо, а взятые в совокупности достаточны для отличия данного понятия от остальных^[3].

На каждой новой ступени развития понятий возникают новые связи между понятиями. Так, сокращение содержания понятия С (С, з С₂) влечет за собой расширение его объема V (V_{ a V₂). Эту операцию называют обобщением понятия. Например, если из содержания понятия «равносторонний треугольник» изъять свойство «равенство всех сторон», то множество треугольников, удовлетворяющих новому содержанию, станет «шире» — будет содержать множество всех равносторонних треугольников в качестве подмножества.

Расширение содержания понятия (С, с С₂) ведет к сужению его объема (Р, з V₂) и называется ограничением (специализацией) понятия. Пример такой операции — переход от понятия тождественных преобразований к понятию сокращения дробей. Рассмотрение отношений между выпуклыми четырехугольниками и окружностями привело к понятию вписанного в окружность четырехугольника. В результате в множестве выпуклых четырехугольников выделяется множество вписанных в окружность четырехугольников, которые характеризуются более сложным содержанием, но меньшим объемом по сравнению с множеством выпуклых четырехугольников.

Сформированность понятия характеризуется умением раскрыть все его существенные свойства в их (внутренних и внешних связях с другими понятиями) целостной совокупности, умением мыслить понятие в системе понятий. Например, рассмотрим следующую фразу: «Муха села на варенье». Обычно, слыша или произнося эту фразу, человек представляет живописную картинку. В понятиях же эту фразу можно трактовать следующим образом: «Элемент множества мух стал принадлежать множеству всех элементов, существенным свойством которых является „сидеть на варенье“». Как вы понимаете, вряд ли в обыденной жизни мы так мыслим. В обыденной жизни мы чаще оперируем предпонятиями.

Одно из основных действий изучения объекта и формирования понятия — действие определения.

• [1] Бочаров Б. Л. Основы логики: учебник. М.: ИНФРЛ-М, 1998.
• [2] Фреге Г. Логика и логическая семантика. М.: Аспект Пресс, 2000.
• [3] Гетманова Л. Д. Логика. С. 102.