Взаимное положение прямых

Пересекающиеся прямые. Наглядное изображение двух прямых А В и CD, пересекающихся в точке К, приведено на рис. 2.9, их чертеж в системе я₂, Л| — на рис. 2.10.

Если прямые пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой, а проекции точек пересечения лежат на одной линии связи.

Рис. 2.11 Рис. 2.12.

Для прямых, кроме профильных, в системе п₂, я_ь справедливо и обратное утверждение:

если в системе п₂, я, точки пересечения одноименных проекций прямых, кроме профильных, лежат на одной линии связи, то прямые пересекаются.

Если в системе я₂, Я| одна из рассматриваемых прямых профильная, то чтобы ответить на вопрос, пересекаются ли прямые, следует построить их профильные проекции.

Примеры чертежей пересекающихся и непересекающихся (скрещивающихся) прямых, из которых одна — с проекциями А «В», А 'В', А «'В — профильная, показаны на рис. 2.11 и 2.12.

На рис. 2.11 все три проекции К", К', А" '" точки /(прямой CD принадлежат и трем одноименным проекциям А «В «, А’В' и А '» В прямой АВ, т. е. прямые пересекаются.

На рис. 2.12 профильная проекция L" точки L прямой CD не принадлежит профильной проекции А «'Вследовательно, прямые АВ и CD не пересекаются (см. также рис. 2.6, а).

На рис 2.13 показаны прямые, две проекции которых пересекаются в одной точке, а две другие проекции сливаются в одну линию. Это означает, что обе прямые принадлежат плоскости а, перпендикулярной плоскости л, (рис. 2.14).

Частный случай ортогональной проекции двух взаимно перпендикулярных прямых, из которых одна параллельна плоскости проекций, а другая не перпендикулярна ей, рассмотрен в § 1.3 (см. рис. 1.10).

Рис. 2.13.

Рис. 2.14.

Чертеж прямого угла АВС со стороной ВС, параллельной плоскости Я|, приведен на рис. 2.15. Горизонтальная проекция В’А 'стороны ВА перпендикулярна горизонтальной проекции В’С стороны ВС.

Эта особенность проецирования прямого угла упрощает решение ряда задач. Например, пусть требуется начертить перпендикуляр из точки с проекциями А «, А ' к прямой с проекциями В „С“, В 'С', параллельной плоскости п₂ (рис. 2.16). Для этого из точки А» проводим перпендикуляр А «М» кВ «С» . Построив проекцию М', проводим горизонтальную проекцию А’М' перпендикуляра.

Это свойство будет широко использовано в дальнейшем.

Заметим, что проекция любого угла в зависимости от положения его плоскости может представлять собой острый, прямой или тупой угол (или прямую линию, если плоскость угла перпендикулярна плоскости проекций). Если угол не прямой, а одна сторона его параллельна плоскости проекций, то на эту плоскость острый угол проеци;

Рис. 2.17.

руется также в виде острого угла меньшей величины, тупой угол — в виде тупого угла большей величины.

Параллельные прямые. Если в пространстве прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны между собой. Действительно (рис. 2.17), проецирующие плоскости аир, проведенные через параллельные прямые АВ и CD, параллельны между собой. С плоскостью проекций я, они пересекаются по параллельным прямым/! 'В' и С 'D' — проекциям прямыхЛДи CZ) на плоскости л,.

Чертежи двух параллельных прямых приведены на рис. 2.18:

• а) прямых общего положения с проекциями А «В», А’В' и C" D", C’D'-,
• б) горизонтальных прямых с проекциями E" F", E’F' и Q" H" , Q’H
• в) фронтальных прямых с проекциями 1 «2 „, 1'2'и3″ 4″, 3'4';
• г) профильных прямых с проекциями 5 „б“, 5'“ 6″ ' и 7″ 8″, 7'» 8″ '.

В то же время о параллельности прямых в пространстве по параллельности их одноименных проекций можно судить только при определенных условиях — на рис. 2.17: (ЕЕс р), (E'F') || (А 'В'), но (ЕЕ) f (АВ).

Для прямых общего положения эти условия следующие:

если одноименные проекции прямых общего положения параллельны в системе двух плоскостей проекций, то прямые параллельны (рис. 2.18, а).

Для прямых частного положения:

если одноименные проекции прямых параллельны одной из осей проекций, то прямые параллельны при условии параллельности одноименных проекций на той плоскости проекций, которой параллельны прямые.

Рис. 2.18.

По рис. 2.18 заключаем:

• а) горизонтальные прямые EFи QH параллельны, так как параллельны их горизонтальные проекции E’F' и Q’H'
• б) фронтальные прямые 1—2 и 3—4 параллельны, так как параллельны их фронтальные проекции 1″ 2″ и 3″ 4″
• в) профильные прямые 5—6 и 7—8 параллельны, так как параллельны их профильные проекции 5'" 6″ ' и 7″ '8″ '.

Скрещивающиеся прямые. Наглядное изображение двух скрещивающихся прямых АВ и CD общего положения дано на рис. 2.19. Их чертеж — рис. 2.20. С точкой пересечения одноименных проекций А 'В' и С 'D ' (рис. 2.19) совпадают проекции К' и L' двух точек К и L, принадлежащих различным прямым CD и АВ.

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на одной линии связи (рис. 2.20).

Интересен вопрос, какая из изображенных на чертеже прямых выше другой или ближе другой к наблюдателю. Это определяют путем анализа положения определенных точек этих прямых.

На рис. 2.19 видно, что при взгляде сверху по указанной стрелке точка L на прямой АВ закрывает точку К (проекция точки К на плос;

Рис. 2.19.

Рис. 2.20.

кости 7t| показана поэтому в скобках). Соответственно и на чертеже, приведенном на рис. 2.20, видно, что фронтальная проекция L" выше фронтальной проекции К" и при взгляде сверху по стрелке N при проецировании на плоскость Л| точка L закрывает точку К (горизонтальная проекция К' показана в скобках). На плоскости п₂ совпадают фронтальные проекции / «и 2» точек прямых ЛВ и CD. При взгляде спереди по стрелке М видно, что точка / прямой ЛВ находится ближе к наблюдателю и при проецировании на плоскость п₂ точка 1 прямой ЛВ закрывает точку 2 прямой CD (фронтальная проекция 2″ точки 2 показана в скобках).

Рассмотренные точки скрещивающихся прямых, проекции которых на одной из плоскостей совпадают, в литературе иногда называют конкурирующими точками.