Идентификация нелинейных четырехполюсников

Введение

Для нелинейного четырехполюсника (НЧ) математическую модель можно представить в виде оператора, устанавливающего в явной или неявной форме связь между воздействиями дд и откликами у к, здесь и в дальнейшем индекс к = 1 относится к входным, индекс к = 2— к выходным полюсам НЧ. Предпочтение отдается явной форме операторов, не связанной с решением каких-либо уравнений. Выявить форму оператора, определить его параметры и характеристики можно путем тестирования НЧ. Давно известный и широко распространенный простейший способ тестирования транзисторов при постоянных напряжениях и токах (постоянных тестовых сигналах — ТС) позволяет получить семейства входных и выходных вольт-амперных характеристик, приводимые обычно в справочной литературе, и представить оператор модели транзисторов в виде двумерных нелинейных функций )'k⁼fk (x, х₂). Однако такой способ тестирования обладает рядом существенных недостатков:

=> нс позволяет снять характеристики во всей рабочей области напряжений и токов транзистора из-за возможного выхода его из строя, поскольку используется статический режим;

=> не отражает динамических свойств транзисторов;

=> неприемлем для идентификации нелинейных реактивных элементов.

Тестирование НЧ с использованием изменяющихся во времени воздействий (переменных ТС) устраняет указанные недостатки. При этом возможны способы тестирования НЧ с двумя переменными ТС и с одним переменным и одним постоянным ТС.

В дальнейшем предполагается, что переменные ТС **(т*):

=> являются четными периодическими (с периодом 2л относительно т*) функциями, для которых:

где T*=0V+.

Т_к, <�р* = const, при этом со*, 7*, <�р* — соответственно частота, период и начальная фаза ТС;

=> представляют собой монотонно изменяющиеся на интервале [0, л] функции, причем.

имеют для обратных функций Т_к(х_к) на интервале [X_{kt m}j_n, Х_к, _тах] первые производные.

В качестве ТС могут быть использованы сигналы косинусоидальной и треугольной формы. Для ТС косинусоидальной формы:

Предполагается также, что НЧ являются стационарными, удовлетворяют условиям наблюдаемости, их реакция на внешние воздействия определяется однозначно, отсутствуют режимы самовозбуждения.

Цель идентификации — выявить форму и определить характеристики операторов моделей НЧ при различных способах тестирования.

Идентификация НЧ при использовании переменных ТС. При периодических воздействиях ДГ](Т]), *2(^2) отклики четырехполюсника могут быть представлены в виде двумерного тригонометрического ряда Фурье:

На основании (5) четырехполюсник можно описать следующим опеоатооом:

где у_к°, З⁷]⁰, у_к^х, у¹ —двумерные нелинейные функции независимых переменныхх_их₂. При этом первый член оператора (6) отражает безынерционные (статические) свойства НЧ, три последующих члена — инерционные (динамические) свойства НЧ, обусловленные изменяющимися во времени входным воздействием, vi (ii), выходным воздействием х₂(т₂) и обоими воздействиями одновременно. Так как для ТС на интервале [0, я] существуют обратные функции, то после подстановки T](*i), т₂{х₂) в (5) получаем следующие выражения для характеристик оператора (6):

Для ТС косинусоидальной формы (2) характеристики (7) выражаются через полиномы Чебышева первого рода, а для ТС треугольной формы (3) — через тригонометрические (косинусоидальные) функции.

Для определения коэффициентов Y_k^x_mY_k^c*_mn, Y™_mn характеристик (7) воспользуемся тригонометрическим полиномом

Полином (8) после подстановки 0* = т* - <�р_А сводится к виду (4), что позволяет получить следующие соотношения для искомых коэффициентов характеристик (7):

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Найдем коэффициенты полинома (8). Допустим, что известны значения (отсчеты) функции 5^(6,Ф₂) = у_к рг для значений аргументов Тогда коэффициенты полинома (8) могут быть выбраны из условия его равенства значениям у_крг:

Введем ограничение на частоты ТС, полагая, что они относятся как целые числа, не имеющие общего множителя:

В этом случае исходными данными для определения коэффициентов полинома (8) могут служить отклики реального четырехполюсника в виде одномерных периодических функций у_к (О), где О = со/, со = 2л/Т, Т = РТ = RTi. Пусть известны отсчеты одномерных откликов (2к

y_kJ = y_k i—, где i = 0, 1,2, PR- 1. Тогда возникает задача по из;

PR)

вестным исходным отсчетам у и одномерных откликов получить отсчеты у_крг откликов четырехполюсника, представленных в виде двумерных функций y_k(f)_ly$₂). Для ^ее решения воспользуемся следующими соотношениями:

которые в параметрической форме задают двумерные функции у_к(&, 0₂) на интервалах О, е [0, 2Rn е [0, 2Рп]. Для перехода к интервалу определения [0, 2л] по обоим аргументам 0], fb запишем дроби в виде целых чисел и остатков:

где Л, В — целые числа; р = 0, 1,2,…, Р-; г = 0, 1, 2,…, Л-1.

Если в (14) отбросить целые числа, то можно установить связь между аргументом / одномерных дискретных функций y_kti и аргументами р, г двумерных дискретных функций у_{к рг}, что равносильно решению поставленной задачи. При этом область определения двумерных периодических функций У*(д, д₂) будет представлять собой равномерную сетку на квадрате, длина стороны которого равна 2л:

На рис. 1 для случая Р = 5, R = 3 проиллюстрирована связь между / (в кружочках) и р, г. По стрелкам (или значениям / от 0 до 15) можно проследить путь, который «пробегает» аргумент 0 одномерной функции у_к(Ь) при его изменении от 0 до 2л в области определения двумерной функции J^(ft, 0₂), заданной на квадрате со сторонами 2л.

Рис. 1. Связь между i и /?, г (14).

Сопоставив (15) с (10), получим:

Таким образом, требование аппроксимации двумерных откликов четырехполюсника полиномами (8) накладывает ограничение (16) на соотношение частот (12) ТС.

После определения коэффициентов (11) по формулам (9) рассчитывают коэффициенты характеристик (7) оператора (6). Начальные фазы <�р* ТС MOiyr быть определены, например, из осциллограмм одномерных откликов НЧ и ТС, снятых на двухлучевом осциллографе, по смещению между первым отсчетом выбранных реализаций одномерных откликов ^*(0) и минимумом ТС. Если первый отсчет откликов совмещен с минимумом ТС *i (T|), то <�р| = 0.

Идентификации НЧ при использовании переменных и постоянных ТС. Допустим, что известно два набора одномерных откликов четырехполюсника _у{(т,), у²_к(х₂), один из которых получен при использовании переменного ТС ЛГ|(Т|) для различных лэ ⁼ const, а другой — при использовании переменного ТС *2(12) для различных х = const. Запишем отклики в виде тригонометрических рядов Фурье:

Для выявления формы оператора модели НЧ допустим, что набор значений *2 ⁼ const в (17) удовлетворяет х₂ = х₂(т₂) в (18), а набор значений х = const в (18) — -X] = .ХГ](Х|) в (17).

Введение

фиктивных ТС х₂ = х₂(т₂) Для (17) и jci = *i (t|) Для (18) позволяет формально представить наборы откликов (17), (18) в виде следующих двумерных тригонометрических рядов:

то по сравнению с (4) в (19) отсутствуют члены, содержащие sin пт₂, а в (20) — члены, содержащие sin тт.

Полагая, что Y^_n = Y**^c", и представляя совокупность откликов (19),.

(20) в виде (5), получаем трехчленную форму оператора (6). Использование же при идентификации одного из откликов (19), (20) при к = const Офаничивает оператор (6) двумя членами.

Характеристики _у{°, j’J¹ усеченных операторов (6) могут быть представлены в виде двумерных функций:

Для представления характеристик усеченных операторов (6) в виде (22) или (7) необходимо определить коэффициенты рядов (19), (20). Эту задачу можно решить аппроксимацией рядов (19), (20) тригонометрическими полиномами (8). Особенность ее решения по сравнению с рассмотренным выше подобным случаем состоит в следующем:

=> двумерные периодические функции (19), (20) обладают свойствами.

(21);

=> для получения отсчетов двумерных функций (19), (20) в их области определения, представляющей собой равномерную сетку на квадрате с длиной стороны 2я, используются наборы одномерных откликов _y|(x, x₂), у²_к(х_1Ут₂). При этом для первого набора постоянные значения *2 должны быть выбраны из условия Х2 - *2(^2) с равномерным шагом по т₂ в пределах от 0 до я, а для второго набора — постоянные значения X] из условия .V| = *](T]) с равномерным шагом по Х в тех же пределах, где дг*(т*) — тестовые сигналы. Число откликов у(т, д:₂), у²_к(х_хЛг) ^в наборе должно быть равным соответственно N+1, М+1, а число отсчетов в отклике — 2Л/+1, 2ДЧ-1. Таким образом, вместо ограничения (12) на соотношение частот ТС вводятся ограничения на число откликов в наборах и число отсчетов в откликах;

=> отсутствует необходимость замены переменных т_к на 0* при переходе к полиному вида (8), что дает возможность непосредственно определить искомые коэффициенты без использования формул пересчета (9);

=> для расчета искомых коэффициентов можно пользоваться формулами (11), если в них произвести соответствующую замену обозначений коэффициентов. При аппроксимации у (х_х, х₂) коэффициенты при sin п$ 2 полинома (8) можно не рассчитывать, так как их значения равны нулю в силу (21). По этой же причине для yj (т, т₂) можно не рассчитывать коэффициенты при sin m0|.

Семейства одномерных характеристик (23), (24) могут быть представлены в двух формах.

где x_kG [X_kmin, X_k, _max]; Yfc (x₂), Y&(X₂), Y??(xi), Yft(лг,) —коэффициенты исходных одномерных откликов (17), (18); т*(л*), t'/fx*) — обратные функции ТСл:*(т*) и их первые производные; у**(х,); yl^±(x₂) —верхняя (знак «+») и нижняя (знак «-») ветви исходных характеристик Ук (^х)> Ук (^х₂) ^в виде гистерезисных петель, полученных исключением безразмерного времени т₂ в откликах ^](т,), у%(т₂) с помощью ТС.

JC|(T|), ^2(^2);

Следует отметить, что:

=> при однозначных характеристиках _у{(дг,), у1(х₂) реального НЧ характеристики модели у|'¹⁰(лг,) = 0, ^^{, 01}(дс₂) = 0 и оператор (6) становится одночленным;

=> если в качестве откликов выбрать z = J ydt и определить характеристики zj'⁰⁰(*,)> zl'°°(x₂) модели НЧ как полусуммы верхней и нижней ветвей исходных гистерезисных функций z|(*,), z*(x₂), то на основании (17), (18) можно получить следующие соотношения:

Эти соотношения позволяют более простым способом определить характеристики у1'^ю(х_]) при х₂ = const, у²*' (д:₂) при х = const (25), не прибегая к аппроксимации подынтегральных выражений и вычислению инте1ралов;

=> располагая семействами одномерных характеристик модели НЧ можно путем их аппроксимации перейти к двумерным характеристикам оператора (6).

Сравнение методов идентификации НЧ. Достоинство метода идентификации с использованием переменных ТС состоит в том, что четырехчленный оператор (6) наиболее полно отражает динамические свойства НЧ и позволяет по одной реализации откликов ук сразу опреде;

лить его характеристики в виде двумерных функций. Однако двумерный ряд (7) для всех четырех характеристик операторов (6) содержит одинаковое число членов, которое определяется числами Р, R (16), зависящими от отношения частот ТС (12). Поэтому усилия, затраченные на идентификацию безынерционных НЧ или НЧ со слабым проявлением инерционных свойств, окажутся напрасными, так как для описания их моделей можно использовать операторы (6) с меньшим числом членов. Следовательно, метод с переменными ТС следует применять в том случае, когда априорно известно, что НЧ обладает достаточно сильными инерционными свойствами.

Метод идентификации с использованием переменного и постоянного ТС лишен указанного недостатка и позволяет, как показано в приведенном ниже примере, постепенно наращивать число членов (от одного до трех) операторов (6) модели НЧ.

Оба метода не требуют проведения трудоемких расчетов, их вычислительные алгоритмы легко программируются. Вычислительный алгоритм при определении двумерных характеристик четырехчленного оператора сложнее, однако расчеты носят разовый характер. Определение одномерных характеристик операторов с меньшим числом членов требует проведения многократных вычислений по более простому алгоритму.

С точки зрения получения исходной информации оба метода можно считать равноценными, так как для их реализации достаточно располагать отсчетами одномерных откликов в виде периодических функций. Для получения исходной информации могут быть использованы стандартные измерительные приборы, например, генераторы гармонических колебаний и цифровые осциллографы, обеспечивающие с высокой точностью косинусоидальную форму (3) переменных ТС и измерение отсчетов требуемых одномерных откликов НЧ.

О реализации методов идентификации. 1. Выбор вида воздействий. Использование при тестировании НЧ постоянных (или содержащих постоянную составляющую) ТС с изменяющимися параметрами ограничивает выбор вида воздействий напряжениями и токами, так как непосредственная реализации режимов тестирования с q = = const и = const невозможна. На выбор вида воздействия (напряжения или тока) влияют тип НЧ и схемные условия его работы. Например, для резистивных НЧ, к которым относятся транзисторы, в качестве воздействия могут служить напряжения или токи. Если транзистор используется в схеме резонансного усилителя с параллельными колебательными конту;

рами, включенными на его входе и выходе, то входным и выходным воздействием должно быть выбрано напряжение (откликами токи).

2. Выбор формы оператора. Выбор формы оператора модели определяется априорной информацией о свойствах НЧ и условиях его работы, требованиями к точности результатов моделирования, аппаратурными возможностями получения исходных данных, объемом и реализуемостью вычислений. Например, для транзисторов, обладающих емкостными свойствами со слабо выраженными инерционными свойствами, может быть выбран двучленный или трехчленный оператор (6).

Пример. Проиллюстрируем возможности метода идентификации для построения модели транзистора КТ315А по исходным данным, полученным для схемы на рис. 2 с помощью программы PSpicc и графического постпроцессора Probe [44] при следующих условиях:

=> для тестирования используются косинусоидальные напряжения.

=> в качестве откликов транзистора могут использоваться как токи /*, так и заряды q_k =ji_kdt.

Поэтому при использовании полученных выше выражений воздействия х_к следует заменять на напряжения и_к, а отклики уь z_k — на токи /* и заряды q_k. Отметим, что /?*С*-цепи (к = 1,2) вводились в схему на рис. 2 только для получения откликов заряда. Параметры /?*С*-цепей выбирались таким образом, чтобы их влияние на отклики транзистора было минимальным, при этом 1/(о)С*)" Rb

Для получения исходных данных при использовании ТС wi=C/i, o^— c/i.icosx, и₂= const сначала с помощью программы PSpice определялись одномерные отклики токов /*(*) транзистора (17), а затем с помощью графического постпроцессора Probe по известным воздействию u (t) и откликам i (t) путем исключения времени на экран монитора выводились вольт-амперные характеристики i (и,). Таким же образом определялись характеристики i_k(u₂) при использовании ТС U2⁼^2.o~ &2. cos т, щ = const.

Тестирование на частоте/=10 кГц показало, что все четыре семейства вольт-амперных характеристик /](*,), i²_k (х₂), где к = 1, 2, являются однозначными функциями. Это свидетельствует о том, что транзистор представляет собой резистивный четырехполюсник, не обладающий.

инерционными свойствами, и для его моделирования достаточно использовать лишь два семейства, например, семейство входных /,¹⁰⁰(м,) при.

M2⁼const и выходных /'2 ⁰⁰ (м₂) ^ПР^И Hi=const характеристик. На рис. 3, а, б приведены вольт-амперные характеристики указанных семейств, полученные ппи следующих папамстпах ТС (29):

Рис. 2. Схема, используемая в программе PSpice для получения динамических характеристик транзистора.

При тестировании на частоте/= 10 МГц вольт-амперные характеристики транзистора представляют собой гистерезисные функции, поэтому оператор

• (6) должен содержать, по крайней мере, два члена. Рассмотрим особенности определения характеристик двучленного оператора при использовании одномерных откликов /,'(/), i₂(t). Входные /,' (//,) и выходные /₂(м₂) вольтамперные харакгеристики приведены на рис. 3, в, г дня тех же параметров (27) ТС (26), что и при тестировании на частоте/= 10 кГц. Характеристики модели транзистора /,^1,00 (_w,) _при w₂=const, /₂^{, 00}(м₂) при W|=const определяются как полусумма верхней и нижней ветвей (25) шстерезисных функций (и_]), i (и₂). Для определения характеристик /₁^1,10(м,) при ы₂= const, /₂'⁰¹ (и₂) при Ы = const по формулам (25) необходимо наши иолуразность верхней и нижней ветвей характеристик на рис. Здг, произвести аппроксимацию подынтегральных выражений и вычислить интегралы. Однако, если вместо откликов тока использовать отклики заряда (пропорциональные напряжениям, снимаемым с Л*С*-цспсй), то исходными данными будут служить вольт-кулонные характеристики транзистора q(и,), q (u₂). Определив полусумму верхней и нижней ветвей этих характеристик, получим вольт-кулонные характеристики мо-
• 226

дели *!?>,) при и₂ = const, ql'⁰⁰(u_l) при и₂ = const и, следовательно, искомые характеристики /₁¹'¹⁰(«/,) = о*?,¹⁰⁰^,), i₂'^0](м₂) = Щ₂°°(и₂). На рис. Ъ, д, е приведены вольт-кулонные характеристики транзистора q(м,), q (u₂) и полусуммы их верхней и нижней ветвей, полученные для ТС (26) с параметрами (27). По оси ординат отложены пикокулоны.

Рис. 3. Динамические характеристики и характеристики модели транзистора.

Используя одномерные отклики /,²(/), i (t) или q](/), q (t), можно по изложенной выше методике получить недостающие семейства характеристик /²'⁰¹ (м₂) при Mi = const, /j'¹⁰(м,) при м₂= const трехчленного оператора (6).

В [31 ] рассмотрен вопрос о точности методов идентификации и приведены другие формы операторов (6).