Задача потребителя. 
Региональная экономика и пространственное развитие

Пусть все потребители в модели одинаковы, потребляют всего два вида товаров и имеют предпочтения формы Кобба — Дугласа:

где А — потребление агрегированного сельскохозяйственного товара, который можно условно назвать «продукты питания»; М — подфункция полезности от потребления промышленных товаров, или индекс потребления этих товаров; р — постоянная доля каждого вида товаров в бюджете потребителей. Всего на рынке существует п разновидностей промышленных товаров, каждая потребляется в объеме где i — номер разновидности товара. Предпочтения относительно промышленных товаров описываются функцией с постоянной эластичностью замещения (CES):

Условие 0 < р < 1 обеспечивает выпуклость кривых безразличия для любых двух разновидностей товаров, так что при прочих равных условиях полезность потребителя будет тем выше, чем больше разновидностей товаров он потребляет.

Параметр р определяет степень заменяемости двух любых разновидностей друг другом в глазах потребителя. Если р равно единице, то М превращается в аддитивную функцию, заменяемость разновидностей полная, т. е. потребителю все равно, потреблять набор товаров или соответствующее количество одного из них. Когда же р близко к нулю, заменяемость минимальна, а полезность от разнообразия максимальна.

Что касается промышленных товаров длительного пользования, то заменяемость, например, холодильников различных марок, будет довольно высокой благодаря схожести их функций. Но так как все люди различаются в своих предпочтениях, они будут выбирать разные холодильники из-за небольших различий в дизайне, использованных материалах, габаритах и просто случайно.

Вопрос заменяемости разновидностей может быть интересен и на индивидуальном уровне для часто используемых товаров и услуг. Представьте себе двух людей: один ест только дешевые сосиски и все свободное время смотрит телевизор. Для него заменяемость всех доступных его бюджету видов питания полная, поэтому он покупает самую дешевую еду. Аналогично он заменил все виды доступных ему удовольствий на телевизор. В противоположность этому потребителю представим теперь человека, который каждый день предпочитает есть разные продукты и меняет способы их приготовления, часто выезжает на природу, занимается спортом и другими способами разнообразит свой досуг. У такого человека р для разновидностей питания и удовольствий будут близки к нулю.

Для удобства определим эластичность замещения между разновидно;

стями промышленных товаров как, а = -—-.

Бюджетное ограничение потребителя выглядит так:

где р^А — цена единицы продуктов питания, p (i) — цена единицы промышленного товара разновидности г, а У — доход потребителя, который максимизирует полезность (6.2) на ограничении (6.4).

Решается эта задача следующим образом. Во-первых, находим условие минимизации издержек на промышленные товары при заданном уровне полезности М и ценах p (i):

Условие первого порядка для задачи (6.5) дает равенство предельной нормы замещения отношению цен на соответствующие товары:

Выражая отсюда т (г) и подставляя в ограничение получим компенсированный спрос, или спрос Хикса:

Если теперь вспомнить, что М также можно считать индексом потребления промышленных товаров, т. е. аналогом их количества, то G = J"p (i'f^/^ ^di ^ можно считать индексом цен на промышленные товары, так что их произведение дает суммарные расходы на упомянутые товары. G также показывает минимальные издержки покупки единицы индекса потребления М. Подставляя, а = 1/(1-р) в (6.8), получим Г 1-а Л¹/(¹-^ст).

G= Ср (г) di и компенсированный спрос:

Теперь полную задачу максимизации полезности потребителя можно записать как.

Из курса микроэкономики можно вспомнить, что максимум полезности достигается при M = [iY/G и A = (-i}Y/р^А. Используя результаты первого шага, мы получаем функции некомпенсированного спроса на продукты питания и промышленные товары:

Заметим, что эластичность спроса на промышленные товары по цене равна, а при фиксированном G, что вполне реалистично при большом количестве разновидностей.

Тогда суммарные оптимальные расходы на промышленные товары будут равны.

Теперь мы можем исследовать максимизированную полезность потребителя:

Агрегированный индекс цен ^ отражает стоимость жизни для потребителя. Заметим также, что увеличение числа доступных разновидностей п снижает этот индекс, и это несмотря на то, что цены на отдельные разновидности p (j) не меняются. Дело в том, что при росте п бюджет делится на большее число товаров, а значит, каждый из них потребляется в меньшем количестве. Учитывая, что кривые безразличия выпуклые, снижение потребления товара ведет к росту предельной полезности в точке оптимума, значит, достижение заданного уровня полезности М потребует меньших затрат. Выражается этот эффект в снижении индекса цен потребителя. Можно проследить этот эффект, если принять цены на все промышленные товары равными:

Из уравнения для спроса (6.11) можно видеть, что снижение индекса цен действительно снижает спрос на каждую разновидность при прочих равных условиях. Как уже отмечалось выше, сила эффекта определяется кривизной кривых безразличия или эластичностью замещения а. Чем ниже эластичность, тем больше разновидностей будет на рынке при прочих равных условиях, и тем сильнее будет снижаться индекс цен при увеличении числа разновидностей. Более того, сам индекс будет ниже при низкой эластичности (при прочих равных условиях). Можно сказать, что увеличение разновидностей промышленных товаров усиливает конкуренцию и снижает уровень цен.