Вращательное движение твердого тела относительно оси

Описанное нами движение твердого тела относительно неподвижной точки является основным видом движения. Однако вычислить вектор L — момент импульса системы относительно произвольной точки — не просто: надо знать шесть проекций (три задают положение тела, три задают положение точки).

Значительно проще найти момент импульса L тела, вращающегося вокруг неподвижной оси z (рис. 7.6). В этом случае составляющие М — момента внешних сил, направленные вдоль х и у, компенсируются моментами сил реакции закрепления. Вращение вокруг оси z происходит только под действием М.

Рис. 7.6. Вращение произвольного теза Рис. 7.7. Вращение твердого теш относительно неподвижной оси z _{no (}) действием М Пусть некоторое тело вращается вокруг оси z (рис. 7.7).

Получим уравнение динамики для некоторой точки пц этого тела, находящегося на расстоянии /?, от оси вращения. При этом помним, что L, и М. направлены всегда вдоль оси вращения z, поэтому в дальнейшем опустим индекс z.

Поскольку и, у всех точек разная, введем вектор угловой скорости о), причем (о = —. Тогда — (т /?²а>) = М .

R аЛ '

Так как тело абсолютно твердое, то в процессе вращения /и, и /?, останутся неизменными. Тогда.

Пусть Jj — момент инерции точки, находящейся на расстоянии R от оси вращения,

Момент инерции тела служит мерой инертности при вращательном движении, так же как масса — мера инертности при поступательном движении.

В общем случае тело состоит из огромного количества точек, и все они находятся на разных расстояниях от оси вращения. Момент инерции системы (тела) равен:

В случае непрерывного распределения масс.

где р — плотность тела, dV- объем малого элемента тела массой dm, отстоящего от оси вращения на расстоянии R.

Как видно, момент инерции J — величина скалярная. В СИ момент инерции измеряется в кг м².

Просуммировав (7.2.1) по всем /-м точкам, получим

Это основное уравнение динамики тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. (Сравним: та = F — основное уравнение динамики поступательного движения тела).

Для момента импульса L тела, вращающегося вокруг оси z, имеем: (Сравним: р = mu — для поступательного движения).

1 х При этом помним, что L и М — динамические характеристики вращательного движения, направленные всегда вдоль оси вращения. ¹ 1 Причем L определяется направлением вращения, как и со, а направление М зависит от того, ускоряется или замедляется вращение.