Векторы и их представления в координатных системах

Понятие вектора связывается с определенными физическими величинами, которые характеризуются своей интенсивностью (величиной) и направлением в пространстве. Такими величинами являются, например, сила, действующая на материальное тело, скорость определенной точки этого тела, ускорение материальной частицы и т. д. В математических моделях процессов требуется дать полное описание векторной характеристики. Наиболее удобно эго сделать, используя координатную систему, в которой векторная величина представляется в виде набора чисел — арифметизируется. В качестве такого набора чисел выступают обычно проекции рассматриваемого вектора на оси выбранной системы координат.

Выбор СК является действием достаточно произвольным, имеющим высокую степень субъективизма. В то же время вектор, который отражает некоторую физическую величину, нс должен зависеть от произвола в выборе этой системы, хотя его числовое описание определяется выбранной СК.

На рис. 1.1 приведен вектор а, представленный в виде его проекций совокупности чисел, объединенных в вектор-столбец. При переходе к другой системе координат (этот переход отражен на правой части рисунка) сам вектор не изменяет своей величины и направления, но претерпевают изменение числовые характеристики, определяющие этот вектор в новой СК.

На практике часто возникает необходимость перехода от одной системы координат к другой. Это вызывается либо удобством геометрического представления объекта в новой координатой системе, либо тем обстоятельством, что се направления отвечают некоторым особым направлениям, связанным со свойствами рассматриваемого явления. .

Рис. 1.1. Представление вектора в различных координатных системах.

Такой переход связан с переносом начала системы координат и поворотом ее осей. В тех случаях когда рассматриваются свободные вектора или когда перенос начала координат не является определяющим, возникает вопрос лишь о повороте осей СК.

Обычно ту СК, к которой происходит переход, называют «новой», а ту, от которой осуществляется переход — «старой». При всей условности такой терминологии она все же достаточно стойко присутствует в различных учебниках, поэтому и мы будем иногда придерживаться этих обозначений.

В других случаях связь между координатными системами интерпретируется как описание возможных положений твердого тела, закрепленного в точке.^[1] Под старой СК понимается некоторая фиксированная в пространстве координатная система, а под новой — система координат, связанная с текущим положением твердого тела при его движении относительно неподвижной точки. В этом случае говорят о связи фиксированной системы координат с текущим положением подвижной.

• [1] Исторически вопрос о взаимосвязи координатных систем и переходах от одной к другой был поставлен при решении одной из основополагающих задачмеханики — задачи о движении твердого тела относительно неподвижной точки.