Коррекция цифроаналоговых систем

Астатическая цифроаналоговая система

Анализ исходной системы

Структурная схема цифроаналоговой системы изображена на рис. 6.2. Ее анализ и дальнейший выбор корректирующего фильтра будут продемонстрированы на примере изучения астатической системы первого порядка астатизма.

Передаточная функция непрерывной части системы и ее параметры:

Пример проведения анализа и коррекции этой системы рассмотрен в работе [8, пример 3, с. 28].

Проводится анализ исходной системы, т. е. предполагается, что коррекция отсутствует и передаточная функция корректирующего фильтра равна единице (lV,_b(z) = 1). В этом случае передаточная функция системы в разомкнутом состоянии равна произведению передаточных функций экстраполятора (W^s) = Т₀) и непрерывной части системы:

Анализ системы удобно разбить на ряд этапов:

1. Определение дискретной передаточной функции W (г). W{z) — это результат применения Z-преобразования к передаточной функции W (s) системы в разомкнутом состоянии. Используется таблица преобразований Лапласа и Z-преобразований (прил. 4). Данные таблицы ограничены, поэтому в рассматриваемом случае функция W (s) представляется суммой простейших слагаемых, над каждым из которых можно осуществить Z-преобразование:

В соответствии с таблицей Z-преобразований имеем.

После приведения к общему знаменателю для рассматриваемого примера искомая передаточная функция примет вид.

2. Анализ устойчивости по расположению корней характеристического уравнения на Z-плоскости.

Z-передаточная функция системы в замкнутом состоянии.

Знаменатель этой передаточной функции A (z) является характеристическим полином системы. Приравняв его нулю и решая полученное характеристическое уравнение, найдем два комплексно-сопряженных корня.

Границей устойчивости на Z-плоскости является окружность единичного радиуса с центром в начале координат. Система устойчива, если все корни характеристического уравнения находятся внутри этой окружности.

В приведенном примере модуль этих корней меньше единицы, следовательно, система устойчива, но запас устойчивости ее невелик (рис. 9.1).

Рис. 9.1. Расположение корней характеристического уравнения на Z-пл. и W-пл.

3. Анализ устойчивости по расположению корней характеристического уравнения на ^-плоскости.

В выражении (9.1) необходимо осуществить замену пере- 1 + w _.

меннои z = --, чтобы перейти к дискретной передаточной.

1 -w

функции W (w) системы в разомкнутом состоянии как к функции переменной w. После некоторых преобразований получим.

9.1. Астатическая цифроаналоговая система

Тогда передаточная функция системы будет иметь вид.

Характеристический полином — это знаменатель передаточной функции Приравняв его нулю и решая полученное уравнение, определяем его корни w, ₂ =-0,015±у-0,141.

Система устойчивая, поскольку отрицательна вещественная часть этих корней. Корни комплексно-сопряженные, следовательно, переходный процесс — колебательный. Запас устойчивости исключительно мал, так как корни почти лежат на границах устойчивости.

4. Логарифмические частотные характеристики (ЛАХ).

Как уже отмечалось, для анализа дискретных систем в некоторых случаях применимы методы, разработанные для исследования непрерывных систем. Особенно это обстоятельство ценно, когда для анализа качества системы применяются ЛАХ.

Частотные характеристики — это характеристики комплексного коэффициента передачи системы в разомкнутом состоянии. Для его получения в передаточную функцию (9.2).

подставляют  — псевдочастота (см. формулу (7.3)):

Выражение (9.3) можно представить в виде произведения комплексных коэффициентов передачи четырех типовых звеньев.

а именно:

• • интегрирующего звена с коэффициентом усиления к = = 1000 с-';
• • инерционного звена с постоянной времени Т= 0,0503 с;
• • устойчивого форсирующего звена с постоянной времени Т] = 0,001 с;
• • неустойчивого форсирующего звена с постоянной времени т₂ = 0,488 • 10^_3 с.

Первые три звена являются устойчивыми типовыми звеньями. Амплитудно-частотная характеристика неустойчивого форсирующего звена совпадает с такой же характеристикой устойчивого форсирующего звена, а его фазочастотная характеристика — с характеристикой инерционного звена (см. подглаву 8.3):

Таким образом, фазочастотные характеристики последних двух звеньев уравновешиваются (ф_{3 4} (^) = 0).

Изобразив ЛАХ всех четырех звеньев и графически просуммировав их, получим ЛАХ исследуемой исходной системы в разомкнутом состоянии (рис. 9.2).

Рис. 9.2. ЛАХ исходной системы.

Анализ изображенных на рис. 9.2 характеристик исходной системы позволяет сделать следующие заключения:

1. Характерными частотами исследуемой системы являются:

— псевдочастота дискретизации

системы;

— псевдочастота среза;

> — критическая псевдочастота, ф (А,_кр) = —180°.

Запасы устойчивости: по амплитуде AL = 40 дБ, по фазе Дф = 15°.

• 2. Для рассматриваемой системы псевдочастота среза >._ср существенно меньше псевдочастоты дискретизации (Х_я = = 2/Т₀). Для анализа дискретных систем в тех случаях, когда выполняется соотношение А._ср < Х_л, применимы методы, разработанные для исследования непрерывных систем. Поэтому в области псевдочастот ^_ср < Х_а приведенные на рис. 9.2 характеристики дискретной системы практически полностью совпадают с соответствующими характеристиками непрерывной системы с передаточной функцией в разомкнутом состоянии W (s) = И⁷,(5). В области псевдочастот Л_ср > Х_л характеристики дискретной и непрерывной систем существенно различаются. Если соотношение _ср < Х_л не выполняется, то для анализа таких систем разработаны другие методы (например, использование решения уравнений в конечных разностях).
• 3. Изучаемая система устойчива, поскольку >"_ср < Х_кр.
• 4. Запас устойчивости по фазе не удовлетворяет техническим условиям (Дф = 13° < 30°).
• 5. Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика L = L (X) пересекает запретную зону по точности на участке с наклоном —20 дБ/дек, следовательно, исходная система не удовлетворяет требованиям точности по скорости входного воздействия.
• 6. Поскольку ломаная кривая Цк) на псевдочастотах в районе псевдочастоты Х_ср имеет наклон —40 дБ/дек, есть все основания полагать, что переходный процесс системы имеет колебательный характер.

Заключение

Итак, исходная система устойчива, но не удовлетворяет требованиям технического задания по точности и по запасу устойчивости по фазе. Для того чтобы обеспечить выполнение требований технического задания, предлагается применить последовательный корректирующий фильтр.