Построение функции полезности

В современной теории принятия решений существуют различные методы построения ожидаемой полезности: метод построения функции полезности с помощью матрицы попарных сравнений (более подробно описан в параграфе 14.6), построение линейных и нелинейных функций полезности, создание функции полезности для показателя, измеренного в различных шкалах (в том числе номинальной) и т. д. Каждый из этих методов может быть отнесен к одному из двух классических способов построения функций полезности.

Один из них базируется на использовании лотерей (с данным понятием мы уже сталкивались в параграфе 14.3), характеризующих склонность Л IIP к риску. Использование этого способа требует строгой аксиоматизации функции полезности, о которой шла речь выше.

Другой способ основан на обобщении функции ценности, которая строится по точкам на шкале показателя. На практике он сводится к использованию приращений функции полезности при ее шкалировании. Построение функции ценности по точкам подробно исследовано в работе Р. Л. Кипи и X. Райфы. При использовании данного способа неизбежно возникает сложность, связанная с тем, что людям обычно трудно дать осмысленные количественные оценки ценности в абсолютной шкале, т. е. в долях единицы. Для преодоления этих трудностей предлагается использовать различного рода соотношения ценности соседних точек шкалы. В упомянутой выше книге показано, что функция ценности должна отражать структуру предпочтений ЛПР.

Далее на конкретных примерах будет рассмотрен способ построения полезности с использованием шкалирования ценностей (денег). Здесь более подробно остановимся на первом способе построения функции полезности.

Аксиоматический подход к ожидаемой полезности берет свое начало в известной книге Дж. фон Неймана и О. Моргенштерна «Теория игр и экономическое поведение» (1944)². Если в теории Бернулли предпочтения задавались функцией полезности, то фон Нейман и Моргенштерн вывели вид функций полезности из условий предпочтения или аксиом. В настоящее время существует несколько вариантов аксиоматизации ожидаемой полезности, но во всех них главную роль играют те или иные формы аксиомы независимости.

Пусть 5₀, t₀ — два фиксированных дохода из R, причем s₀ < t₀. Опираясь на аксиоматику, описанную в предыдущем пункте, рассмотрим вопрос о построении функции [/, которая будет служить функцией полезности. Если г — доход из R, для которого 5₀ г ^ ?₀, то U® определяется как единственное число из интервала 0 < U® < 1, удовлетворяющее соотношению.

• 1 Кини Р. Л., Райфа X. Принятие решений при многих критериях: предпочтения и замещения. М.: Радио и связь, 1981. 559 с.
• 2 ^{Нейман Дж. фон, Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение. М.: Наука, 1970. 983 с.}
• ¹

^{Существование и единственность такого числа U® были установлены в теореме (*). В частности, U (s_Q) = 0 и U (t₀) = 1. Для любого дохода г е R, такого, что г < 5₍₎, существует единственное число, а (0 < а < 1), удовлетворяющее соотношению}

^{Естественно ожидать, что функция полезности U обладает тем же свойством, что и в случае, когда выполнено соотношение (14.4), т. е.}

^{Для того чтобы (14.5) было справедливо при U (s₀) = 0 и U (t₀) = 1, надо положить}

^{Наконец, для любого дохода г е R, такого, что г > t₀, должно существовать единственное число, а (0 < а < 1), удовлетворяющее соотношению}

^{Естественно ожидать от функции полезности, что при выполнении (14.7) имеет место соотношение}

^{Для того чтобы (14.8) было справедливо, полагаем}

^{Соотношения (14.3), (14.4), (14.6), (14.7) и (14.9) задают функцию U на всем множестве R. Линейность функции t/, выражаемая соотношениями (14.5) и (14.8), имеет место на всем множестве R. Сформулируем этот факт в виде следующей теоремы.}

^{Теорема}

^{Пусть г_р г₂ и г₃ — три произвольных дохода из R, причем при некотором значении, а (0 < а < 1) выполнено г₂ ~ аг₃ + (1 — а)г_{. Тогда U (r₂) = aU (r₃) + (1 — а)[/(г,).}

^{Доказательство этой теоремы основано на использовании схемы построения функции полезности (14.3)—(14.9) и результатов предыдущей теоремы (*у.}