Конвергентные и неконвергентные электрические цепи

Познакомимся с понятиями конвергентная и неконвергентная электрическая цепь, используемыми в литературе. Под конвергентной будем понимать цепь, в которой при любых значениях ее элементов, любых начальных условиях и любых периодических источниках питания устанавливается единственно возможный вынужденный режим работы, период которого равен периоду источника питания. Если же в цепи при некоторых значениях ее элементов возможно существование нескольких различных вынужденных режимов при одном и том же значении входного напряжения или тока, либо в цепи возникает нежелательный режим работы, период которого не равен периоду источника питания схемы, или в цепи возникает хаос или автомодуляция, то такая цепь неконвергентна.

Все линейные электрические цепи с неизменными во времени параметрами конвергентны. Однако некоторые нелинейные электрические цепи с периодическими источниками при определенных значениях параметров могут оказаться неконвергентными (примеры см. в параграфах 15.58, 15.60, 15.69, 15.70 и в приложении П10).

Неконвергентными при определенных значениях параметров могут оказаться и нелинейные цепи, содержащие постоянные во времени источники ЭДС или тока. К их числу могут быть отнесены некоторые автоколебательные системы, а также цепи, содержащие нелинейные резистивные элементы, вольт-амперные характеристики которых имеют Sили N-образную форму. В ряде автоколебательных систем неконвергентность приводит к тому, что вместо ожидаемого периодического режима работы в схеме возникают перерывы в работе, биения, автомодуляция или хаос. В системах, содержащих нелинейные элементы с Sили N-образными вольт-амперными характеристиками, установившийся режим работы схемы может оказаться зависящим от предыстории.

Дуальные нелинейные цепи переменного тока

Две нелинейные электрические цепи (схемы) переменного тока условимся называть дуальными, если:

• 1) каждому независимому контуру исходной схемы, а также области, являющейся внешней по отношению к схеме, соответствует узел в дуальной;
• 2) независимые контуры составлены так, что каждая ветвь исходной схемы, содержащая нелинейный элемент, входит только в один независимый контур (не входит в соседние) и является периферийной (п. 2 в общем случае необязателен, он имеет существенное значение при расчете цепей, если его предполагается провести);
• 3) образование ветвей дуальной схемы между ее узлами производится так же, как и для линейных цепей (см. параграфы 3.44 — 3.45) — каждому элементу исходной схемы соответствует своя ветвь в дуальной;
• 4) заполнение ветвей дуальной схемы схемными элементами, дуальными элементам исходной, осуществляется по тому же принципу, что и в линейном случае с одинаковым масштабным множителем для линейных и нелинейных элементов.

Если это будет выполнено, то физические процессы, происходящие в исходной схеме по отношению к напряжениям на ее элементах, будут с точностью до масштабного множителя сопровождаться аналогичными процессами по отношению к токам в соответствующих ветвях дуальной схемы.

В качестве примера на рис. 15.58, а изображена исходная схема. В ней три ветви и два независимых контура. Она содержит два линейных резистора— Rj и R₂, нелинейное резистивное сопротивление и-Д^), линейную индуктивность L₃ и нелинейный конденсатор с вольткулоновой характеристикой u_C2(q₂). Для образования дуальной схемы в каждом независимом контуре исходной схемы ставим по точке, обозначив их цифрами 1 и 2. Во внешней по отношению к схеме области исходной схемы ставим точку и обозначаем ее 0. Эти точки будут узлами дуальной схемы, изображенной на рис. 15.58, б. Точки 1 и 0 на рис. 15.58, а соединяем тремя штриховыми линиями, проведенными через элементы первой ветви, и в дуальной схеме на рис. 15.58, б в эти ветви включаем источник тока j_b нелинейную проводимость ^(ф-Д и линейную проводимость g_3l, дуальные элементам первой ветви. Точки 1 и 2 на рис. 15.58, а соединяем двумя штриховыми линиями и на рис. 15.58, б в соответствующие им ветви включаем линейный конденсатор С₃ и источник тока;₃. Точку 2 на рис. 15.58, а соединяем с точкой 0 тремя штриховыми линиями, проходящими через резистор R₂, нелинейный конденсатор, вольт-кулоновая характеристика которого n_C2(q₂), и источник ЭДС е₂.

Рис. 15.58.

В дуальной схеме между узлами 2 и 0 включены, соответственно, нелинейная индуктивность, вебер-амперная характеристика которой i_a(j/), линейная проводимость g₃₂ и источник тока j₂. Если направление обхода /с-контура совпадает с направлением стрелки на источнике ЭДС е_т, то в дуальной схеме ток источника тока должен быть направлен к к-узлу, если не совпадает, то от к-узла. Чтобы выявить соответствие между элементами исходной схемы и элементами дуальной, составим уравнения по второму закону Кирхгофа для исходной схемы на рис. 15.58, а (см. уравнения (15.113) и (15.114)) и уравнения по первому закону Кирхгофа для дуальной схемы на рис. 15.58, б (см. уравнения (15.115) и (15.116)) и затем сопоставим их:

При составлении уравнений (15.113) и (15.114) учтено, что i₃ = — i₂

и что заряд q₂ = ji₂dt. При составлении уравнений (15.115) и (15.116) учтено, что напряжение на линейном конденсаторе С₃ равно (р_х — ф₂, а потокосцепление ф нелинейной индуктивности в схеме на рис. 15.58, б равно | Ф₂dt, поскольку потенциал точки 0 принят равным нулю.

Для того чтобы потенциал точки 1, т. е. ф_1? изменялся во времени так же, как ток i_b а потенциал точки 2, т. е. ф₂, как i₂, отношение аналогичных слагаемых в уравнениях (15.113) и (15.115) должно быть одинаково и равно произвольно выбранному масштабному числу т (Ом):

Отношение аналогичных слагаемых в уравнениях (15.114) и (15.116) также равно т:

Из (15.117) следует, что BAX нелинейного резистора исходной схемы u₁(i₁) и АВХ нелинейной проводимости дуальной схемы ^(фД связаны соотношением n₁(i₁) = /Л1_в(ф₁), причем ординаты АВХ 1_в(ф_х) уменьшены в т раз по сравнению с ординатами ВАХ цД^). Так, если ВАХ исходной схемы соответствует рис. 15.59, а, то АВХ ^(фД дуальной схемы соответствует рис. 15.59, б (т взято равным 10).

Из (15.118) следует, что вольт-кулоновая характеристика n_c2(q₂) нелинейного конденсатора исходной схемы связана с ампер-веберной характеристикой i_a(j/) нелинейной индуктивности зависимостью n_C2(q₂) = Л11_а(ф) (рис. 15.59, в и г).

Рис. 15.59.