Теорема и вектор Пойнтинга в стационарном электромагнитном поле

Теорема Пойнтинга основана на законе сохранения энергии и является важнейшей интегральной теоремой электричества и магнетизма, используемой в инженерной практике при разработке и проектировании большинства энергоемких электротехнических устройств, включая сложные системы генерирования, транспортировки и потребления электроэнергии, в особенности — нетрадиционных энергосистем с минимально возможным внутренним потреблением энергии.

Исходя из методологических соображений, обратимся вначале к простейшему наглядному примеру. На рис. 1.3 изображен замкнутый контур с током I, включающий в себя источник энергии (например, в виде источника ЭДС Е и сопротивления г,), сопротивление Д_внеш и соединительные провода с сечением S_np.

зо.

Рис. 1.3.

Источник генерирует энергию, которая потребляется элементами цепи:

Во всем пространстве выделим далее объем V, содержащий источник ЭДС Е, внутреннее сопротивление r_v и соединительные провода. Этот объем на рис. 1.3 ограничен замкнутой поверхностью S_3aMKH, которая рассекает соединительные провода S_np и разделяет внутреннюю и внешнюю части пространства:

Очевидным при этом является то, что часть энергии, развиваемой источником, сосредоточена во внутреннем объеме V (I²r_v), а оставшаяся часть покидает объем V или излучается из объема V через замкнутую поверхность S_3aMKH (Р_изл) и расходуется во внешнем сопротивлении Р_внеш.

Таким образом, исходное уравнение баланса мощности (1.95) может быть представлено в виде.

где Р_изл носит название мощности излучения.

Покажем, что законы и уравнения электричества и магнетизма позволяют в самом общем виде получить математическое описание всех составляющих баланса мощности (1.97).

Для этого выделим в пространстве объем V (рис. 1.4), в котором существуют электрическое поле (5, 5^, Е и обусловленное им магнитное поле (Я).

Объем V обладает проводимостью у и ограничен замкнутой поверхностью S_3aMKH.

Стационарное электромагнитное поле в объеме описывается уравнениями.

Рис. 1.4.

Если (1.98) умножить скалярно на Е, а (1.99) — на Н и из (1.98) вычесть (1.99), получим:

а после соответствующего преобразования левой части (1.100):

Интегрируя далее левую и правую части (1.101) по объему V и используя известную теорему Остроградского — Гаусса.

получим следующее уравнение:

Общее уравнение баланса мощности (1.103) и называют теоремой Пойнтинга, а новый вектор

равный векторному произведению векторов Е и Н, называют вектором Пойнтинга.

Сопоставляя исходное уравнение баланса мощности (1.97) с полученным уравнением (1.103), находим:

Таким образом, вектор Пойнтинга (1.104) имеет размерность поверхностной плотности мощности (ВА/м²), а мощность излучения (1.107), покидающая объем V, определяется как поток вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность, ограничивающую этот объем.

При отсутствии сторонних источников теорема Пойнтинга (1.103) упрощается и принимает вид.

а если объем V представляется в виде проводника с током I и сопротивлением R, то.

и, следовательно, сопротивление проводника может вычисляться при помощи выражения:

которое является прямым следствием теоремы Пойнтинга.

Энергетическое представление сопротивления проводника (1.110) по сравнению с традиционной формулой Ома.

является более общим, а при сложной конфигурации проводника и неоднородных граничных условиях — единственно возможным.

Простейший пример такого проводника сложной конфигурации, выполненного из листового материала толщиной Д, приведен на рис. 1.5.

Рис. 1.5.

Если в этом листе рассчитать поле тока (б, Е) и определить интегральное значение выделенной мощности.

то лист в целом можно характеризовать энергетическим понятием.

и при известном суммарном токе I в листе определить некоторое эквивалентное напряжение.

Теорема Пойнтинга позволяет также определить роль пространства, окружающего проводник, в передаче электрической энергии.

Обратимся вновь к исходному примеру. Если замкнутой поверхностью S_3aMKH охватить внешнее сопротивление К_внеш (рис. 1.6), то в соответствии с теоремой Пойнтига мощность, выделяемая в этом сопротивлении, должна быть равна взятому с обратным знаком потоку вектора Пойнтинга через эту замкнутую поверхность:

Рис. 1.6.

Как и в исходном примере, замкнутая поверхность S_3aMKH не является однородной, а состоит из поверхности внешней среды S_BHeui и поперечных сечений проводов S_np. Следовательно, (1.112) можно представить в виде.

Из выражения (1.113) следует, что мощность (или энергия) принципиально может поступать в объем V с сопротивлением 1? внеш ^по двум различным каналам — электрическим проводам и непроводящему окружающему пространству.

Общую сравнительную количественную оценку этим двум потокам энергии можно дать с помощью следующего конкретного примера. Цилиндрический провод радиуса а (рис. 1.7) обтекается током I, удельная проводимость провода равна у. Требуется определить поток вектора Пойнтинга через замкнутую поверхность, охватывающую провод на длине I.

Очевидно, что эта замкнутая поверхность будет состоять из двух торцевых и боковой поверхности:

Для решения поставленной задачи вначале нужно рассчитать Е (а), Н (а), П (а) на боковой поверхности провода и Е (г), Н (г), П (г) внутри него, на торцевых поверхностях, а затем найти соответствующие составляющие потоков и суммарный поток вектора Пойнтинга П через всю замкнутую поверхность. Рассмотрим произвольную_то_чку внутри провода и определим направления векторов Е, Н, П. Исходя из условий осевой симметрии Н = Н_а.

Рис. 1.7.

Поскольку 8 = уЕ, электрическая напряженность Е направлена вдоль оси провода. Очевидно, что вектор П лежит в плоскости поперечного сечения провода, а это значит, что его поток через торцевые сечения равен нулю. Но если это так, то мощность в объем провода поступает только из окружающего пространства через боковую поверхность провода и расходуется там на тепло. Таким образом, поскольку.

то В окружающем пространстве магнитная напряженность в силу осевой симметрии будет изменяться так же, как в поле линейного провода с током I:

На поверхности провода.

отсюда На боковой поверхности вектор dS направлен в сторону внешней нормали, а вектор П — вглубь провода. Поэтому на боковой поверхности.

причем на всей боковой поверхности П (а) = const. В итоге.

Этот пример говорит о том, что направление вектора Пойнтинга одновременно указывает и на направление передачи потока энергии, а его величина определяет интенсивность этого потока или поверхностную плотность мощности излучения.