Методы теории колебаний

Введение

.

Предметом теории колебаний является изучение общих особенностей и закономерностей колебательных процессов в различных динамических системах и условий их существования. Подобные динамические системы, в которых могут существовать колебательные процессы, принято называть колебательными системами. В теории колебаний основное внимание уделяется разработке эффективных методов анализа и расчета различных колебательных процессов.

Для изучения колебательных процессов в конкретных системах проводят классификацию колебательных систем по их динамическим свойствам. В качестве классификационных признаков используют:

• • свойства параметров системы: линейные системы, нелинейные системы, системы с распределенными параметрами, параметрические системы;
• • число степеней свободы. Под этим термином понимается наименьшее число разрывов в электрической цепи, необходимое для того, чтобы стало невозможным какое-либо протекание токов в рассматриваемой системе [50];
• • энергетическим признак, согласно которому системы разделяются на активные (с внутренним источником энергии) и пассивные;
• • наличие/отсутствие источника переменного напряжения: автономные системы и неавтономные системы;
• • кинематические признаки колебательного движения: периодичность и форма колебаний.

В дальнейшем рассматриваются простейшие колебательные системы с одной степенью свободы, которые описываются дифференциальным уравнением второго порядка.

Среди нелинейных систем выделяется класс автоколебательных систем, или автогенераторов, способных генерировать (создавать) колебания при отсутствии внешних источников переменного напряжения. Автоколебательную систему можно подвергнуть действию внешних переменных сил. В соответствии с этим, как уже упоминалось выше, употребляют термины автономные и неавтономные автоколебательные системы.

Исследование автоколебательных систем сводится:

• • к отысканию состояний равновесия (покоя, при которых все искомые токи и напряжения не зависят от времени) системы и исследованию их устойчивости;
• • решению задачи о периодических колебаниях (движениях) системы: выявляются периодические решения уравнений и исследуется их устойчивость;

Методы анализа (авто)колебательных систем. Для описания процессов в автоколебательных системах используются нелинейные дифференциальные уравнения. В связи с отсутствием точных методов их решения разработано большое количество различных методов приближенного анализа нелинейных цепей. Наиболее распространенными методами являются:

• • квазилинейный метод (разработан Ю. Б. Кобзаревым), или метод гармонической линеаризации, основанный на замене нелинейного элемента эквивалентным линейным элементом, характеризуемым средним параметром (параметром по первой гармонике). Метод строится на исследовании соотношений между первыми гармониками токов и напряжений. В результате замены нелинейная цепь описывается линейными уравнениями и может исследоваться методами линейной теории (например, методом комплексных амплитуд). Нелинейность схемы проявляется в зависимости среднего параметра от амплитуды. Квазилинейный метод справедлив для систем, колебания в которых близки к гармоническим, и получил наибольшее распространение для инженерных расчетов стационарных режимов автогенераторов (пригоден и для изучения переходных процессов);
• • методы малого параметра, к которым следует отнести метод медленно меняющихся амплитуд, метод возмущений и др. Некоторые из них рассмотрены ниже;
• • метод фазовой плоскости является графическим методом, используемым для анализа стационарных и переходных процессов, но интегральным кривым нелинейного дифференциального уравнения второго порядка. Метод является более общим, чем предшествующие, пригоден для исследования как синусоидальных, так и нссинусоидальных (релаксационных) колебаний. Основные недостатки метода состоят в необходимости выполнения трудоемких построений и отсутствии аналитических решений;
• • метод линеаризации, состоящий в замене нелинейных зависимостей линейными, что возможно только для малых возмущений (отклонений). Применяется для выявления условий устойчивости и условий самовозбуждения. Для исследования поведения системы при больших амплитудах (стационарные автоколебания, переходные процессы) не пригоден.