Уравнения электромеханического преобразования энергии

Любая теория приобретает значение для практических применений, если она имеет математическое описание. Наряду с так называемыми физическими представлениями математические модели в электромеханике имеют первостепенное значение.

Подходя к изучению теории электрических машин в начале XXI в., как и электромеханики в начале XX в., естественно, попытаемся написать уравнения так, как это видит наблюдатель, находящийся вне машины. Поскольку модель обобщенной электрической машины подходит для большинства машин, для нее целесообразно записать уравнения электромеханического преобразования энергии.

Рассмотрим двухфазную двухполюсную электрическую машину, имеющую две ортогональные системы обмоток статора w’l, w’l и ротора w'_a, w[ (рис. 1.83). При работе машины обмотки статора и ротора перемещаются относительно друг друга, а угол 0 между осями обмоток определяет относительную частоту вращения. При неподвижном статоре.

С осями обмоток (см. рис. 1.83) удобно совместить координатные оси статора (a_s, b_s) и ротора (а_п Ь,). При этом можно говорить об относительном перемещении как обмоток статора и ротора относительно друг друга, так и координат ных осей (a_s, b_s и a_r, b,).

Рис. 1.83. Модель обобщенной машины в непреобразованной системе координат.

Эти оси в теории электрических машин получили название естественных, или фазовых, неиреобразованных координат.

Можно предположить, что с осями обмоток совпадают векторы иотокосцеплений обмоток (Ч'д, Ч’Д Ч^ и Ч^) и токов обмоток (i* if, и ц) (см. рис. 1.83).

При вращении ротора обмотки статора и ротора изменяют положение относительно друг друга и при этом изменяются их потокосцепления и токи. Потокосцепления обмоток статора с обмоткой ротора зависят от угла 0 между осями обмоток и определяются следующими соотношениями:

где С Ll, L'_fl, L’b — соответственно полные индуктивности обмоток статора и ротора по осям а, Ь;М— взаимная индуктивность между обмотками статора и ротора.

Полная индуктивность, например, обмотки статора по оси а:

где L"_(l — индуктивность рассеяния обмотки статора по оси а.

В воздушном зазоре машины благодаря определенной комбинации обмоток в пространстве и временному сдвигу токов и напряжений образуется вращающееся поле. При синусоидальных напряжениях на выводах идеальной машины в воздушном зазоре имеется круговое поле. Частоты токов в статоре и роторе в соответствии с третьим законом электромеханики жестко связаны между собой, и поля статора и ротора неподвижны относительно друг друга.

Круговое поле в воздушном зазоре можно представить результирующими векторами индукции.

и потокосцсплений.

В выражениях (1.104) и (1.105) составляющие индукции и потокосцеплений есть проекции на оси координат статора и ротора (см. рис. 1.83).

В виде результирующих векторов можно представить напряжения статора и ротора U^s, U', а также токи статора и ротора I^s, Т.

Для результирующих векторов уравнения напряжений записываются в следующем виде:

Так как рассматривается симметричная машина, активные сопротивления обмоток по осям статора равны R^s = r^s_a = tj, и R' = = r'_h.

Из уравнений (1.106) после разложения результирующих векторов на составляющие по координатным осям получим дифференциальные уравнения напряжений в естественных или фазовых непреобразованных координатах:

В уравнениях (1.107) частоты токов статора и ротора различны, поэтому токи и потокосцеплсния обмоток статора и ротора имеют также различные частоты, коэффициенты взаимной индуктивности и полной индуктивности перед токами в уравнениях (1.102) изменяются с двойной частотой по отношению к токам и напряжению. Знак «-» в уравнениях ротора в уравнениях (1.107) свидетельствует о том, что активная мощность поступает со статора в ротор.

Если подставить значения потокосцеплеиий из уравнений (1.102) в уравнения (1.107), получим громоздкие уравнения с периодическими коэффициентами. Чтобы упростить эти уравнения, надо преобразовать их к уравнениям с постоянными коэффициентами.

В теории электрических машин широко применяется преобразование координат. Преобразование координат осуществляется при условии инвариантности (неизменности) мощности.

При преобразовании координат наблюдатель (система координат) располагается в воздушном зазоре и может вращаться с любой скоростью. При вращении наблюдателя с произвольной скоростью ю_к, при неподвижном статоре, частота напряжения в этой системе координат равна ш_с ± со_к. Эту систему координат обозначают и, v, и она используется для исследования машин с вращающимся статором и ротором.

Можно иметь бесконечное число координат, соответствующих любой скорости со_к. В теории электрических машин применяется ограниченное число координат. Неподвижные координаты (со_к = 0) получили название координат а, (3. В координатах а, р наблюдатель рассматривает процессы преобразования энергии со стороны неподвижного статора. Система координат а, р широко применяется для исследования асинхронных машин.

Для исследования синхронных машин применяют систему координат d, q. При этом ш_к = со_р = со_с, а наблюдатель «помещается» па ротор. Находясь на роторе, наблюдатель «видит» в воздушном зазоре неподвижные относительно ротора поля статора и ротора. Если мысленно остановить ротор, картина для наблюдателя не изменится. Моделирование уравнений в системе координат d, q па ЭВМ производится на постоянном токе. В системе координат а, р моделирование уравнений производится на переменном токе.

Системы координат а, Р и d, q — наиболее распространенные. Естественные непрсобразованныс координаты и координаты, вращающиеся с произвольной скоростью, применяются реже. Вопрос о применении и преобразовании координат подробно рассматривается в специальных курсах [7].

Уравнения электромеханического преобразования, записанные через токи, в системе координат а, р для обобщенной машины (см. рис. 1.25) выглядят следующим образом:

где и’а, Ир, и'_а, Ир, i^, ip, i^r_a, ip — соответственно напряжения и токи в обмотках статора и ротора по осям а и [3; r^s_a, rj_s, r'_(V Гр — активные сопротивления обмоток статора и ротора; М — взаимная индуктивность; L^s_a, ip, L'_a, L’p — полные индуктивности обмоток статора и ротора по осям а и (1 Индуктивности обмоток:

где L^s_aa, Lp_a, L'_ao, L_]a — индуктивности рассеяния обмоток статора и ротора по осям аир.

Индуктивные и активные сопротивления относятся к фазе машины и определяются расчетным или опытным путем по схемам замещения и формулам проектирования.

Уравнения напряжений для неподвижных обмоток в обычной записи имеют вид.

а для вращающихся обмоток.

Уравнения (1.108) записаны для приведенной машины с псевдонеподвижными обмотками, у которой одинаковое число витков на статоре и роторе. Чтобы сохранить инвариантность мощности в реальной машине и машине с неподвижными обмотками, в уравнения вводят ЭДС вращения, выражающиеся произведениями? pcopip + Mcopip для обмотки ротора по оси, а иL’avia — Mcopi* — по оси р.

Уравнения Кирхгофа (1.108) включают в себя напряжения, падения напряжения на активных сопротивлениях, ЭДС вращения, которые индуктируются только во вращающихся обмотках, и трансформаторные ЭДС:

Процессы электромеханического преобразования энергии описываются уравнениями напряжений (1.108) и уравнением движения.

где М_с — момент нагрузки па валу или момент сопротивления; J — момент инерции. Если электрическая машина исследуется вместе с приводным механизмом, необходимо учитывать и приведенный момент инерции механизма. Знаки перед М_с в уравнении (1.113) определяют двигательный или генераторный режим работы.

Электромагнитный момент определяется (параграф 1.13) по формуле (1.100).

Системы координат а, р, d, q и и, v наиболее распространены и позволяют составить уравнения практически для всех встречающихся задач. Выбор системы координат упрощает уравнения, позволяет получить уравнения с постоянными коэффициентами, но не снижает числа неизвестных.

Выраженные в той или иной системе координат уравнения преобразовываются в соответствии с правилами математики. Одним из важных приемов преобразования является замена переменных:

где г_0в, г₀р — мгновенные составляющие тока холостого хода по осям, а и р.

Уравнения напряжений и моментов могут быть выражены через потокосцепления, токи статора и ротора, намагничивающие токи и потокосцепления [7].

Системы из четырех уравнений напряжений и уравнения моментов являются фундаментальными уравнениями электромеханического преобразования энергии, записанными в различных системах координат.

В простейшем виде уравнения электромеханического преобразования энергии представляют собой систему из пяти уравнений. В них пять независимых (напряжения и момент сопротивления) и пять зависимых (токи и угловая скорость) переменных. Коэффициенты перед зависимыми переменными (активные сопротивления, индуктивности, взаимные индуктивности и момент инерции) являются параметрами. В зависимости от вида уравнений коэффициенты при переменных могут быть постоянными, периодическими и нелинейными.

Дифференциальные уравнения электромеханического преобразования энергии не имеют точного аналитического решения, так как они содержат произведения переменных. Для их решения применяют ЭВМ. Точность решения уравнений электромеханического преобразования энергии зависит от класса ЭВМ. Можно решить уравнения (1.108), (1.113) с помощью ЭВМ с такой высокой точностью, которая даже не требуется для инженерной задачи.

Уравнения электромеханического преобразования энергии нс имеют решения, если любой из параметров, входящих в уравнения, равен нулю или бесконечности. Если активные или индуктивные сопротивления равны бесконечности, токи равны нулю и машина не развивает момента. При у = оо машина разгоняется бесконечно долго. При/ = 0 машина не может достигнуть установившейся скорости, так как ротор реагирует на все изменения произведений токов, создающих момент, и не разгоняется. При этом средняя составляющая электромагнитного момента отсутствует. При равенстве взаимной индукции нулю нет магнитной связи между обмотками статора и ротора и электромагнитный момент равен нулю (1.114). Если в контурах электрической машины, где замыкаются токи, активные сопротивления равны нулю, устройство работает как накопитель энергии. При этом постоянные времени равны бесконечности, между токами статора и ротора, создающими М_эм, сдвиг 90°, средний электромагнитный момент равен нулю (см. рис. 1.83).

Дифференциальные уравнения электромеханического преобразования энергии описывают переходные и установившиеся режимы. Уравнения установившегося режима при синусоидально изменяющихся токах и напряжениях получаются из дифференциальных уравнений путем замены оператора дифференцирования d/dt на усо. Вывод уравнений для установившегося режима для каждого типа электрических машин проводится в соответствующих параграфах курса.

В установившихся режимах, когда о_р = 0, можно уравнения напряжений и уравнение движения рассматривать отдельно и использовать для их анализа аналитические решения. В курсе электрических машин для анализа установившихся режимов, как правило, используются уравнения напряжений, а при изучении работы электрических машин в электроприводах — уравнение движения.

При изучении электрических машин исследование уравнений электромеханического преобразования на ЭВМ имеет огромное значение. Применение вычислительных машин для решения задач электромеханики в последние десятилетия имели решающее значение для развития теории электрических машин.

Математической теорией электрических машин студенты-электромеханики занимаются практически во всех спецкурсах. В общем курсе уравнений электромеханического преобразования энергии касаемся лишь в необходимой степени для изучения основных положений теории электрических машин.