Функция распределения откликов и вероятность ошибок для согласованных фильтров и корреляторов одинаковы.
у NnTs
Дисперсия для помехи: crjn =—где Nn — плотность мощности помехи.
Отклик на сигнал на выходе согласованного фильтра в момент t = Ts:
где As — амплитуда сигнала, Ts — время наблюдения. Отношение сигнал/шум в момент t = Ts:
Критерий Неймана — Пирсона устанавливает порог, исходя из допустимой вероятности ложных обнаружений.
где F (x) = — J exp — dx; П2НП — порог, выбираемый по кри;
2ж-оо V 2
терию Неймана — Пирсона.
Из выражения 0 —> следует:
где — ls^n — порог, не зависящий от интервала наблюдения V 4 сигнала.
Вероятность пропуска сигнала равна:
В системах с активной помехой вероятность ошибки составит:
Ошибки обнаружения сигналов со случайной фазой
Если фаза случайна, то можно получить функции распределения отклика на помеху, и на смесь помехи с сигналом. Если амплитуда сигнала неизвестна, то порог обнаружения Побнар устанавливают, исходя из допустимого уровня ложных обнару;
_ (peinS^.
жении, т. е. из заданной вероятности Рдоп | —-— I.
порог и критерий Неймана — Пирсона. Вероятность пропуска сильного сигнала:
Расчетные кривые правильного обнаружения при разных отношениях сигнал/шум приведены на рис. 5.5.
Вероятность появления ошибок при принятии решения можно оценить по формуле:
Результаты расчета приведены на рис. 5.6.
При использовании ортогональных (взаимно независимых) сигналов S, и S2 (с различными частотами^ и/2) ошибка возникает, когда отклик канала без сигнала S0 больше, чем у канала сигнала Ss. В этом случае Nn > Es и вероятность ошибки определяют по формуле:
Мощность помехи в полосе частот Afs сигнала составляет.
Результаты расчетов приведены на рис. 5.6.
Следствие: Рош и сигнал/шум на выходе оптимального фильтра зависят только от энергии сигнала и плотности мощности помех на входе фильтра. Чем длиннее сигнал, тем уже его спектр А/ и меньше помех на выходе фильтра. При увеличении скорости передачи информации для обеспечения уровня достоверности необходимо увеличивать мощность сигнала. При медленной передаче мощность сигнала можно уменьшить (дальность возрастает). В релейных линиях передачи информации Ts = 1 нс. В дальней космической связи Ts= 1 сек.
