Деформации. 
Сопротивление материалов с использованием вычислительных комплексов

На рис. 4.2 показан стержень до и после растяжения. Его длина увеличилась, а поперечный размер уменьшился. Введем понятия абсолютной и относительной деформации:

А/=/,—/ — абсолютная продольная деформация;

A b = b_}— b — абсолютная поперечная деформация; е = А1/1 — относительная продольная деформация;

е' = Аb/b — относительная поперечная деформация.

Рис. 4.2. Деформации при растяжении стержня.

Относительные поперечная и продольная деформации связаны между собой эмпирической зависимостью с' = -цс, где ц — коэффициент Пуассона, определяемый опытным путем. Знак минус показывает, что при растяжении стержня его поперечное сечение сужается:

Коэффициент Пуассона является упругой константой материала. В гл. 20 будет показано, что при упругой деформации 0 < ц < 0,5. Значения коэффициента ц для различных материалов приводятся в справочниках. Например, для пробки ц ~ 0, для стали ц ~ 0,3, для резины р «0,49.

Закон Гука

По закону Гука перемещения прямо пропорциональны нагрузкам: F= КА, где F — сила; К — жесткость тела, зависящая не только от свойств материала, но и от формы и размеров тела; А — перемещений от силы.

Поскольку напряжения о = N/A и деформации е = А/// есть нагрузка и перемещение, деленные на константы А и /, то и напряжения прямо пропорциональны деформациям. На графике (рис. 4.3) зависимость о от е изображается прямой линией. Следовательно, можно записать о = Ее, где Е — коэффициент пропорциональности, называемый модулем продольной упругости, или модулем Юнга.

Рис. 4.3. Закон Гука при растяжении.

Модуль Юнга Е — константа материала (как и коэффициент Пуассона ц) приводится в справочниках. Для стали ?=2−10^:1 МПа, для чугуна — 10⁵ МПа, для дерева — 10⁴ МПа.

На практике часто необходимо найти удлинение стержня под действием растягивающих или сжимающих нагрузок. По закону Гука о = Ее. Подставим в это выражение о = N/A и е = А///, тогда N/A = ?(Д///), откуда А/= Nl/ЕА. Эта формула справедлива в случае действия одной сосредоточенной силы, т. е. продольное усилие N постоянно по длине стержня.

Если на стержень действует несколько сосредоточенных сил, то стержень разбивается на несколько участков (от силы до силы), и полное удлинение равно сумме удлинений каждого участка в отдельности:

где / — номер участка; п — количество участков.

В общем случае, если продольное усилие на некоторых участках величина переменная, т. е. действует распределенная нагрузка, то удлинение пропорционально площади эпюры продольных усилий.

J N (x)dx :