Нормальные напряжения и расчёты на прочность при изгибе

При чистом изгибе в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения растяжения и сжатия. Распределение этих напряжений по поперечному сечению определяются путём рассмотрения деформации волокон балки.

Рис. 71. Деформация балки при изгибе.

Рассмотрим участок балки (рис. 71), подверженный деформации чистого изгиба, для чего поперечными сечениями АВ и СД выделим элемент балки бесконечно малой длины dS с радиусом кривизны нейтрального слоя р. В результате деформации изгиба слой волокон тп, находящийся на расстоянии у от нейтрального слоя NN, удлинился на величину пп. Ввиду малого значения расстояния ds треугольники Fn и OEF будем считать прямолинейными. Эти треугольники подобны, так как сторона nF параллельна стороне тЕ:

Из подобия треугольников можно записать следующее равенство:

Левая часть этого уравнения есть относительное удлинение Тогда можно записать:

Применив закон Гука при растяжении и сжатии, а = Ее, получим.

Из этой формулы видно, что нормальные напряжения при изгибе по высоте распределены неравномерно: максимальные напряжения возникают в волокнах, наиболее удалённых от нейтральной оси. По ширине балки нормальные напряжения не меняются (при определенном у).

Для определения напряжений в зависимости от величины изгибающего момента в данном сечении, применим метод сечений и рассмотрим равновесие балки, изображенной на рис. 72.

Рис. 72. Нормальные напряжения в материале балки при изгибе.

Выделим в некотором поперечном сечении произвольную элементарную площадку AF на расстоянии у от нейтральной оси д:. Величина элементарной силы, действующей на площадку AF будет

Составим два уравнения равновесия:

После подстановки значения нормального напряжения, а получим

Входящая в это уравнение величина J^y/SF представляет собой статический момент сечения относительно оси х (см. п. 1.4.1). Равенство нулю статического момента означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

то есть сумма моментов внутренних сил относительно нейтральной оси сечения равна изгибающему моменту.

Подставляя значение, а и вынося постоянные величины за знак суммы, получим

Входящая в формулу величина представляет собой осевой момент инерции 1_Х поперечного сечения балки относительно нейтральной оси х (см. 4.6.2).

Введя обозначение момента инерции 1_Х в уравнение момента, получим.

Величина, обратная радиусу кривизны в какой-либо точке кривой, называется её кривизной, а величина Е1_Х — жёсткостью балки относительно нейтральной оси.

Подставляя значение кривизны в формулу нормального напряжения, а и проведя сокращение, получим нормальное напряжение в любой точке поперечного сечения балки, то есть

В случае, когда нейтральная ось сечения совпадает с осью симметрии, максимальное значение координаты у_тах будет где h — высота сечения.

Тогда наибольшие нормальные напряжения будут.

Отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удалённых волокон называется осевым моментом сопротивления изгибу.

Единица момента сопротивления изгибу [И',]-м Определим осевые моменты сопротивления для простых сечений: прямоугольника, круга и кольца.

Для прямоугольника (рис. 73):

Рис. 73. Момент сопротивления прямоугольного сечения.

— поставленного вертикально (рис. 73, а):

— положенного горизонтально (рис. 73, б):

Для круга (см. рис. 57,.

б):

Для кольца (рис. 56, б):

В связи с тем, что около нейтральной оси материал мало напряжён, в машиностроении редко применяют металлические балки прямоугольного сечения, но широко распространены прокатные профильные балки таврового, двутаврового, углового, швеллерного и других сечений. Моменты инерции, моменты сопротивления и другие сведения о прокатных профилях даются в таблицах ГОСТа.

Условие прочности балки при изгибе заключается в том, что максимальное нормальное напряжение, а в опасном сечении не должно превышать допускаемого [а].

Расчетная формула на прочность при изгибе для балок из материалов одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию имеет вид.

С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе решаются три задачи.

1. Проверка прочности (проверочный расчёт).

По заданным размерам сечения балки, наибольшему изгибающему моменту и допускаемому напряжению определяют фактическое нормальное напряжение по приведенной выше формуле, которое не должно превышать допускаемое [а].

2. Подбор сечения (проектный расчёт).

По заданному или рассчитанному изгибающему моменту А/_тад и заданному допускаемому напряжению [сг] определяют осевой момент сопротивления балки по формуле.

По рассчитанному моменту сопротивления W_x определяют размеры сечения балки.

3. Определение наибольшего изгибающего момента.

Максимальный изгибающий момент по заданным размерам сечения балки и допускаемому напряжению определяют по формуле:

aside class="viderzhka__img" itemscope itemtype="http://schema.org/ImageObject">

Рис. 74.Пример расчета балки: а — схема нагружения; б — эпюра поперечных сил; в — эпюра изгибающих моментов.

Пример 15. Для балки квадратного сечения, изображённой на схеме (рис. 74, а) построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, если Р — 6 кН; М=30 кН м; распределённая нагрузка интенсивностью q * 3 кН/м;

1 = 2 м; /₂? 6 м; 1_Ъ = 4 м.

Определить опасные сечения по заданной форме и допускаемому нормальному напряжению [а] = 150.

Н/мм²; подобрать сечение балки и проверить её на прочность.

Решение. 1. Определяем опорные реакции R_A и R_B:

Е^ч-о;

откуда откуда

2. Проводим проверку. Сумма проекций на вертикальную ось должна быть равна нулю, то есть

Подставляя значения сил и реакций определяем, что левая и правые части уравнения равны нулю. Следовательно, реакции R_A и R_B определены правильно.

3. Построение эпюр поперечных сил Q.

Балка имеет три участка.

На участке I текущая ордината z изменяется в пределах 0 < z < 1. Применяя метод сечений поперечная сила Q в сечении z будет.

Поперечная сила на всем участке одинакова, поэтому эпюра есть прямая линия, параллельная оси (рис. 74, б).

На участке II текущая ордината z₂ изменяется в пределах.

/, 2<(/,+/₂).

Поперечная сила Q₂ на данном участке будет.

Здесь имеем уравнение прямой наклонной линии, так как z₂ входит в уравнение в первой степени. Для построения эпюры достаточно определить поперечную силу Q₂ в двух сечениях, то есть:

Эпюра поперечной силы Q₂ показана на рис. 74, б.

Как видно из рисунка в точке А на границе участков эпюра поперечных сил Q имеет скачок, равный реакции R_A.

На участке Щ для упрощения построения эпюры целесообразно начало координат взять со стороны приложения момента М, то есть справа и ось z направить влево. Таким образом, текущая координата г₃ изменяется в пределах 0 < z₃ < /₃.

Поперечная сила в сечении z₃ будет.

4. Построение эпюр изгибающих моментов.

На участке I при изменении 0 < Z < 1 изгибающий момент имеет вид.

Изгибающий момент в этом сечении зависит от абсциссы в первой степени, то есть имеем прямую линию. Для её построения достаточно определить изгибающий момент в двух сечениях. Так,.

Эпюра изгибающих моментов на этом участке показана на рис. 74, в. На участке II при изменении изгибающий момент будет.

На данном участке изгибающий момент имеет вид параболы, поэтому значения М_и2 находим по трём точкам:

В качестве третьей точки примем точку С, где поперечная сила Qi переходит через ноль (меняет знак). Координату г находим из уравнения поперечной силы на этом участке, приравняв Q₂ = 0, а изгибающий момент достигает экстремума, то есть

откуда

Находим изгибающий момент при z = 6 м.

Эпюра изгибающих моментов на этом участке показана на рис. 74, в. На участке III уравнение изгибающего момента имеет вид.

Так как поперечная сила Q₃ на этом участке равна нулю, эпюра изгибающего момента М"₃ ограничена прямой, параллельной оси. Таким образом имеем:

Эпюра изгибающего момента на этом участке показана на рис. 74, в.

5. Подбор сечения балки.

Размеры сечения балки заданной формы проводим по максимальному изгибающему моменту |M"|^mex и допускаемому напряжению [а]. Требуемый момент сопротивления будет

Момент сопротивления для балки квадратного сечения находим по формуле

откуда находим размеры сечения балки:

Принимаем h = 115 мм. Следовательно, размеры поперечного сечения балки будут 115×115 мм.

6. Проверка балки на прочность.

Проверку балки на прочность проводим, исходя из условия.

Для принятых размеров сечения балки момент сопротивления будет равен

Подставляя найденное значение W_x в условие прочности, находим нормальное напряжение.

Вычисленное значение максимального напряжения показывает, что условие прочности выполнено.