Энергетический метод определения критической силы

Рассмотренный выше метод расчета на устойчивость предполагает знание гибкости стержня X = [xL/i_min. Но в справочниках можно найти значения коэффициента р лишь для нескольких случаев закрепления стержней постоянного сечения. Для стержней переменного сечения невозможно найти критическую силу изложенным методом.

Энергетический метод позволяет приближенно определить критическую силу для стержней любого сечения и закрепления. Он основан на использовании начала возможных перемещений: если тело находится в равновесии, то сумма работ внешних и внутренних сил равна нулю на любых возможных перемещениях. Эта формулировка справедлива при упругой деформации системы. Перемещения, вызванные деформацией системы, всегда являются возможными.

Согласно этому принципу И^/Внеш + lV^BHyrp = 0. При упругой деформации работа внутренних сил равна по модулю потенциальной энергии упругой деформации Я, которая не бывает отрицательной | ^^BHVTP| = П. Тогда W^mem = | - И^{/, шу, р} | = П.

Подсчитаем отдельно работу внешних 1У^ВНСШ и внутренних И^/Внутр сил, равную потенциальной энергии упругой деформации. На рис. 12.6 показана схема деформации стержня. Сжимающая сила F совершает работу на перемещении подвижной опоры. При постепенном увеличении нагрузки стержень деформируется упруго, оставаясь прямолинейным. На диаграмме F— А работа силы F на упругом перемещении опоры Д равна площади треугольника.

Рис. 12.6. Работа силы Fnpn потере устойчивости стержня.

При достижении критического значения сжимающей силы стержень изгибается при постоянной нагрузке F= F_Kp. Работа изгиба равна площади прямоугольника на диаграмме F— Д. Запишем равенство И^^внеш = ^^сжат + W™ = П = Я^сжат + Я^изг. Работа сжатия равна потенциальной энергии сжатия (И^/СЖат= Я^сжат), соответственно W™ = Л™ Раскроем это выражение:

о = — = Ее = Е = Ей'. Тогда N = ЕАы'. С учетом этого.

А дх

Использованное выражение с = ди_х/дх выводится в теории упругости (п. 20.1.3). При определении критической силы деформацию сжатия можно не учитывать, однако ее придется учитывать при решении задачи устойчивости стержневых систем методом конечных элементов. Работа сжимающей силы при изгибе.

Потенциальная энергия, накопленная при изгибе, /7^ИЗГ = J •.

С учетом уравнения изогнутой оси балки при изгибе EJ^-j= М, где и — прогиб стержня при изгибе, тогда.

Подсчитаем перемещение подвижной опоры при изгибе Д. Вырежем элемент стержня длиной dx, которая в процессе изгиба не меняется, ведь F_Kр = const. Найдем сближение концов элемента при изгибе dA_Mir = <�±хг (1 —cos0), где 0 — угол поворота элемента стержня при изгибе, равный углу поворота сечения. _{2 0}4 лб Используем разложение cos0 в ряд Тэйлора cos0~ 1^— 2Г⁺ 4!—бГ Включим в расчет только два первых слагаемых разложения cos0 в ряд.

(ь2 Л 2.

Тэйлора: с1Л_изг ~dxll-l +^-l = clx^-. Но угол поворота сечения равен производной от прогиба (при малых перемещениях): 0~dи/дх = и', тогда dA_M3r ~y (w')²dx.

Работа силы F_Kр при изгибе.

Приравнивая выражения (12.14) и (12.15), получаем формулу для определения критической силы энергетическим способом:

Эта формула называется формулой Рэлея для определения критической силы при продольном изгибе стержня.

Чтобы воспользоваться сю, надо задаться формой изгиба и (х). Чем точнее выбрана форма изогнутой оси стержня, тем точнее будет найдена критическая сила. Если для схемы Эйлера задаться формой изогнутой оси в виде синусоиды, то значение критической силы, найденное по формуле Рэлея (12.16), совпадает со значением, найденным по формуле Эйлера (12.6).

Любая ошибка в выборе уравнения изогнутой оси стержня ведет к завышению критической силы. Ведь отклонение изогнутой оси от своего естественного положения равносильно наложению дополнительных связей, что ведет к увеличению критической силы.