Выравнивающая функции дли статистических распределений тиювой нагрузки

Приведенная выше характеристика экспериментальных статистических распределений еще не решает задачи более полного их обобщения. Главное заключается в установлении количественной связи между величиной нагрузки и ее продолжительностью. Такая связь может быть установлена на основе выравнивающей функции статистических распределений.

В целях отыскания выравнивающей аналитической или графической зависимости представим некоторую физическую модель, соответствующую схеме накопленных частостей. Каждой ступени нагрузок в этой схеме соответствует определенная сумма случайных и неслучайных факторов, проявление которых обусловлено количеством поездов в подстанционной зоне, условиями движения, особенностями ведения поездов машинистами и т. д. Длительного сти сходных no результатам факторов и частота их появления определяют вероятность той или иной ступени нагрузки.

Суммируя эти вероятности в порядке возрастания ступеней нагрузки, приходим к накопительной схеме. Эту схему можно рассматривать как систему, которая достигает через некоторый промежуток времени состояния К_п, характеризуемого ступенью нагрузки. Таким образом, схему накопленных частостей можно представить некоторой последовательной цепочкой К₍₎ -К — К₂ ~—К_п -К_ч. Состояние К_ч будет соответствовать максимальному значению натрузки. Таких условных состояний, вероятно, должно быть тем больше, чем чаще будут повторяться си туации, близкие по результатам, и это будет соответствовать графику с меньшими колебаниями нагрузок. Следовательно, число таких условных состояний должно быть тем больше, чем меньше значение К_э графика.

Анализ многочисленных аналитических зависимостей, применение которых могло бы отвечать условной физической модели схемы накопленных частостей, а также требованиям к такою рода функциям, показал, что в наибольшей степени этому соответствует неполная гамма-функция (интеграл Эйлера второго рода) [9]. Аналитическое выражение этой функции в [36, 58] имеет следующий вид:

где хит- положительные параметры; / - переменная интегрирования;

со Г (/и)= fe~^rt^m~^ldt — гамма-функция.

о Таким образом, J (_xmj является сложной функцией.

При всех х > 0 и т > 0 J^_xm^ — монотонно возрастающая функция от X, меняющаяся от 0 до I. Отсюда имеет место следующая рекуррентная формула:

По формуле (9.54) можно производить вычисление плотности гамма-распределения:

Из сравнения приведенных формул со схемой накопленных частостей и гистограммами распределений тяговых нагрузок легко убедиться, что неполная гамма-функция может быть использована в качестве выравнивающей.

Связь параметра х неполной гамма-функции с относительными значениями нагрузки U установим через коэффициент X, а для отличия от обычного обозначения второго параметра т введем его под символом г, г. е. можем записать:

В этом случае выражение (9.53) для плотности вероятностей тяговых нагрузок после преобразований будет иметь вид.

Из (9.57) для накопленных частостей ступени нагрузки можно записать следующую формулу, выражающую интегральную функцию распределения:

Для целых г, интегрируя по частям (9.58), получим.

В этом случае Г (г) вычисляется из выражения.

Таким образом, выравнивающая функция для распределений тяговых нагрузок определяется двумя положительными параметрами А. и г, которые можно связать с числовыми характеристиками случайной величины на основе известною выражения.

Здесь (.i, — цетральный момент s-ro порядка случайной величины х; ф (х) — функция плотности вероятностей.

В соответствии с (9.61) для математического ожидания нагрузки /*₀ запишем:

Нижний предел интегрирования (9.62) принят равным 0, так как <�р (/*) = О при /* < 0.

После преобразований и проведения операции интегрирования над (9.62) имеем.

Аналогично для второго центрального момента запишем:

После преобразования и проведения операции интегрирования над (9.64).

для ц2= D = сГ имеем.

Решив (9.63) и (9.65) относительно X и г, получим.

Ил (9.66) следует, что параметры выравнивающей неполной гаммафункции определяются математическим ожиданием и дисперсией. R принятой Л Л системе относительно единиц /*₀ = 1 и ст" = -1. Для этого случая X = г и выражение этих величин через графика будет иметь вид.

а отсюда.

Таким образом, как и опытные распределения, выравнивающая функция зависит лишь от одного параметра, связанного с к., приведенными зависимостями (9.66) и (9.67). Значение г здесь будет выражать число условных состояний системы, соответствующей схеме накопленных частостей.

Для случая Х = г выражения (9.57)-(9.59) будут иметь следующий вид:

Укажем на некоторые свойства неполной гамма-функции в качестве выравнивающей для распределений тяговой нагрузки. При г = 1, что соответствует к₃= 1,41, из (9.71) получим.

т. е. имеем экспоненциальную функцию.

При соотношении.

т. е. когда г> 12 и соответственно к_э< 1,04, то неполная гамма-функция от нормального распределения отличается незначительно. Максимальное расхождение не превышает 10%. Для реальных распределений, как было показано выше, при Л., < 1,45…1,50 наибольшая вероятность соответствовала нагрузке, равной 0, а при Аг₃ <1,04 наблюдалась симметрия распределений и отсутствие анормальности. Этот факт является одним из доказательств приемлемости гамма-распределения в качестве выравнивающей функции.

Отметим также, что неполная гамма-функция, определяемая параметрами А./" и г, связана с функцией % (хи-квадрат), имеющий п степеней свободы, простым равенством:

Это обстоятельство можно использовать при вычислениях гамма-распределения, для которого имеются также специальные таблицы [36].

Таким образом, можно утверждать, что неполная гамма-функция является универсальной и в наибольшей мере подходит в качестве выравнивающей для распределений тяговой нагрузки.