Определитель Вронского. 
Дифференциальные уравнения

Вторая сторона медали, которую мы сейчас будем обсуждать. это определитель Вронского. Так же, как и для уравнений n-го порядка, он возникает при попытке найти ту линейную комбинацию.

которая удовлетворяет заданному начальному условию ж (/, о) = Т что сводится к решению векторного уравнения.

На это уравнение можно смотреть двояко: с одной стороны, это задача разложения вектора? по системе векторов х^г(Ьф), для разрешимости которой для любого? необходимо, чтобы вектора x^l(to) образовывали базис. С другой просто система линейных алгебраических неоднородных уравнений, для разрешимости которой (для любой правой части) необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы не равнялся нулю.

Нетрудно видеть, что матрица, определитель которой нас интересует, это матрица, столбцы которой есть просто решения x^l(t).

Определение 18.5 Пусть

набор вектор-функций, являющихся решениями системы (18.5). Тогда определитель.

называется определителем Вронского⁶ системы решений ж¹ (?),…, xⁿ(t).

Теорема 18.2 Пусть ж¹ (t), ar (f),…, xⁿ(t) некоторый набор решений системы (18.5). Тогда следующие пять утверждений эквивалентны:

«Название «определитель Вронского» (или более коротко «вронскиан») оправдывается не только происхождением. Если рассмотреть линейное уравнение n-го порядка

• 1) система вектор-функций x^l(t), x²(t),…, xⁿ(t) линейно зависим, а на (а, 0);
• 2) для любого фиксированного t*?(a,/3) система векторов x^l(t*), x²(t*),…, xⁿ(t*) линейно зависима;

H) существует, такое t*? что система векторов ж¹^*),.

x²(t*), xⁿ(t*) линейно зависима;

• 4) W (t) = 0 для всех t? (а,(3);
• 5) существует такое t*? (а, 0), что W (t*) = О.

Следствие. Эквивалентны и противоположные утверждения:

I) система вектор-функций x^l(t), x²(t),…, xⁿ(t) линейно независима на (а, /3):

• 2) для любого фиксированного t*? (а, (3) система векторов x^l(t*), x²(t*),…, xⁿ(t*) линейно независима;
• 3) существует такое t* ? (а,(3). что система векторов x^l(t*), x²(t*), … xⁿ(t*) линейно независима;
• 4) W (t) ф 0 для всех t? (a, ft):

и перейти к эквивалентной системе.

то, поскольку мы обозначили мри этом Xi = Х, Х2 = Х,…, Х_п = Х^^{п 1}', каждому решению 4>j{t) уравнения будет соответствовать решение.

Определитель Вронского, построенный, но набору решений векторной системы окажется тогда равным.

то есть совпадет в точности с определителем Вронского для системы решений исходного уравнения. Таким образом, определитель Вронского для решений уравнений и определитель Вронского для решений эквивалентной ему системы не просто аналогичны они в точности совпадают друг с другом.

5) существует такое t* € (а,/3), что W (t*) ф 0.

Доказательство теоремы проводится, но схеме 1=>2=>3=>1с дополнительными «довесками¹¹ 2 4 и 3 5.

Эквивалентности 2 о 4 и 3 О 5 являются по существу хороню известным утверждением из алгебры о том. что определитель матрицы равен нулю тогда и только тогда, когда ее столбцы линейно зависимы.

Импликацию 1 =>• 2 мы уже обсуждали из линейной зависимости вектор-функций следует линейная зависимость векторов при каждом t. Импликация 2 => 3 тривиальна. Остается доказать самое существенное импликацию 3 => 1.

Итак, пусть для некоторого t* вектора x^l(t*), x²(t*),…, xⁿ(t*) линейно зависимы. Найдем такую нетривиальную линейную комбинацию этих векторов, которая дает нулевой вектор

и построим линейную комбинацию наших решений с теми же коэффициентами:

Эта функция будет решением системы (18.4) и будет удовлетворять нулевому начальному условию при t = t*:

Поскольку нулевому начальному условию удовлетворяет также еще одно очевидное решение системы нулевое то. по теореме существования и единственности (здесь мы пользуемся именно единственностью), два указанных решения обязаны совпадать. Но x{t) = 0 означает, что нетривиальная линейная комбинация вектор-функций x^l(t) равна нулю:

Линейная зависимость системы вектор-функций x^l{t) доказана. Доказательство теоремы завершено.