Статистический анализ панельных данных строительной отрасли по регионам России

1) Моделирование индекса цен на рынке жилья методами компонентного, кластерного и регрессионного анализа.

Для того чтобы составить наиболее адекватное представление о ситуации в той или иной отрасли экономики, необходимо проанализировать её взаимосвязи с другими отраслями. Ключевой задачей строительства является создание зданий и сооружений как жилого, так и нежилого назначения. Проанализируем, как различные характеристики (в том числе и строительного сектора) влияют на значение индекса цен на рынке жилья.

В качестве исходных данных для проведения компонентного, кластерного и последующего регрессионного анализа выступают следующие независимые переменные:

• · X1 — введено в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения, кв. метров;
• · Х2 — базовый индекс потребительских цен, в % к предыдущему году;
• · Х3 — коэффициент изобретательской активности (число отечественных патентных заявок на изобретения, поданных в России, в расчете на 10 тыс. чел. населения);
• · Х4 — доля строительных организаций, необеспеченных строительными машинами и механизмами в общем количестве строительных организаций, %;
• · Х5 — индекс изменения наличия средств малой механизации, применяемых в строительстве;
• · X6 — отношение общей площади незавершенных жилых домов к годовому вводу жилья (без индивидуальных жилых домов), %;
• · X7 — доля инвестиций, направленных на реконструкцию и модернизацию, в общем объеме инвестиций в основной капитал, %;
• · X8 — доля инвестиций в машины, оборудование, транспортные средства в общем объеме инвестиций в основной капитал, %.

В качестве результирующей зависимой переменной выступает Y — величина индекса цен на первичном рынке жилья, выраженная в % к предыдущему году, рассчитанная по всем типам квартир.

Анализ будет проводиться в статике (по ежегодным данным официальной статистики за 2014 г.) по регионам России и выполняет «разведочную» функцию — предварительный этап панельного анализа.

Компонентный (факторный) анализ:

Целью факторного анализа будет сведение большого числа переменных (в данном случае их восемь) к меньшему количеству независимых факторов, влияющих на значения, которые будут принимать исследуемые величины. Переменные, имеющие между собой высокую корреляцию, будут объединены в один фактор. Соответственно, переменные разных компонент будут либо слабо коррелировать, либо вовсе не будут взаимосвязаны.

Таким образом, на данном этапе исследования необходимо найти такие комплексные факторы, которые бы подробно объяснили наблюдаемые связи между изучаемыми переменными. Компонентный анализ будет считаться нереализованным, если невозможно интерпретировать принадлежность одной из многих переменных одному-единственному фактору или же если нельзя трактовать получившиеся факторы с точки зрения здравого смысла.

Теоретический базис представляет собой следующие этапы: [15].

• 1) Стандартизация заданных значений переменных (z-преобразование).
• 2) При помощи стандартизированных значений рассчитывают корреляционные коэффициенты Пирсона между рассматриваемыми переменными.
• 3) Строится корреляционная матрица (для этого определяются собственные значения и соответствующие им собственные векторы).
• 4) Собственные значения сортируются в порядке убывания (поэтому отбирается столько факторов, сколько имеется собственных значений, превосходящих по величине единицу). Собственные векторы, соответствующие этим собственным значениям, образуют факторы.
• 5) Элементы собственных векторов (коэффициенты корреляции между соответствующими переменными и факторами) представляют собой факторную нагрузку.

Однако шаги 1−5 не дадут однозначного определения факторов (не решат поставленную задачу). Для однозначного решения задачи определения факторов применяется:

• 6) Метод главных компонент, а также метод вращения Варимакс (факторные нагрузки повёрнутой матрицы могут рассматриваться как результат выполнения процедуры факторного анализа).
• 7) Отдельным наблюдениям присваиваются значения этих факторов — факторные значения.

В имеющихся данных насчитывается четыре собственных значения, превосходящих единицу, что означает (по теоретическому алгоритму, описанному выше) отбор четырех факторов (Приложение 9). Данный вывод подтверждается анализом точечной диаграммы (каменистая осыпь). Такая диаграмма служит для того, чтобы маловажные факторы (осыпь) можно было отделить от самых значимых факторов. Эти значимые факторы на графике образовывают своего рода склон — ту часть линии, которая характеризуется крутым подъёмом. В данном случае такой крутой подъём наблюдается в области первых четырех факторов.

Факторные нагрузки четырёх факторов в блочном виде расположены по диагонали матрицы (Приложение 9). Ориентируясь на матрицу повернутых компонент, полученную методом вращения Варимакс с нормализацией Кайзера за 5 итераций, можно сделать вывод, что переменные (х7) и (х8) могут быть объединены в первую компоненту, переменные (х1) и (х6) — во вторую, тогда как (х4) и (х5) — в третий фактор. Лишь переменная (х2) остается обособленной и сама формирует отдельную компоненту под номером 4.

Однако отметим недостаток, заключающийся в том, что сопоставление высказывания некоторому фактору рассматривается как единственно верное решение, без проверки, не имеет ли данное высказывание примерно такую же нагрузку и для какого-либо другого фактора. Например, переменная (х3) нагружает первую и вторую компоненту приблизительно в равной степени (с коэффициентами 0,479 и 0,434, соответственно). Тогда логичным решением будет отнесение этой переменной к обоим факторам, раз нагрузка примерно одинаковая.

Фактор 1 объединяет следующие переменные: коэффициент изобретательской активности (число отечественных патентных заявок на изобретения, поданных в России, в расчете на 10 тыс. чел. населения); доля инвестиций, направленных на реконструкцию и модернизацию, в общем объеме инвестиций в основной капитал; доля инвестиций в машины, оборудование, транспортные средства в общем объеме инвестиций в основной капитал. Иными словами, первая компонента характеризует инвестиционно-изобретательскую активность региона.

Фактор 2 объединяет переменные: введено в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения и отношение общей площади незавершенных жилых домов к годовому вводу жилья (без индивидуальных жилых домов). Вторая компонента характеризует площадь жилых домов на разных этапах строительства.

Фактор 3 объединяет следующие переменные: доля строительных организаций, необеспеченных строительными машинами и механизмами в общем количестве строительных организаций и индекс изменения наличия средств малой механизации, применяемых в строительстве. Третья компонента характеризует обеспеченность строительных организаций средствами механизации.

Фактор 4 представляет собой одну переменную — базовый индекс потребительских цен.

На компонентной диаграмме без вращения (рис.23) в графическом виде представлены факторные нагрузки обоих факторов (двумерное пространство взято для упрощения). Для интерпретации компонент было бы оптимально, если бы точки лежали ближе к осям и дальше от точки начала отсчёта, тогда каждая переменная имела бы значительную нагрузку для одного фактора и незначительную для другого. Однако в данном случае это условие не выполняется для точек 1 и 6, 5 и 7. В данном двумерном примере это вращение можно представить себе довольно наглядно, математически же подобный поворот можно произвести также и в n-мерном пространстве (то есть при наличии произвольного количества факторов). В рассматриваемом случае прямоугольного вращения корреляция между факторами отсутствует.

Рис. 23 «Компонентная диаграмма без вращения»

В данной задаче используем ортогональное вращение, при котором происходит минимизация количества переменных с высокой факторной нагрузкой. Этот метод является наиболее часто применяемым, потому что он облегчает интерпретацию факторов. Для ортогонального вращения применяется метод Варимакса (реализация данного метода представлена на рис. 24). На диаграмме стало заметно смещение факторных нагрузок в сторону главных осей.

Рис. 24 «Компонентная диаграмма с вращением»

Иерархический кластерный анализ:

Цель анализа заключается в следующем: при помощи предварительно заданных переменных (в данном случае это четыре фактора, полученные в ходе компонентного анализа на предыдущем этапе исследования) сформировать группы регионов. Члены одной группы (одного кластера) должны обладать схожими проявлениями переменных, а члены разных групп различными.

Анализ таблицы шагов агломерации (Приложение 10) дает следующие результаты: для определения, какое количество кластеров следовало бы считать оптимальным, решающее значение имеет показатель, выводимый под заголовком «коэффициент». По этим коэффициентом подразумевается расстояние между двумя кластерами, определенное на основании выбранной дистанционной меры с учётом предусмотренного преобразования значений. В нашем случае это квадрат евклидового расстояния, определенный с использованием стандартизованных значений. На этом этапе, где эта мера расстояния между двумя кластерами увеличивается скачкообразно, процесс объединения в новые кластеры необходимо остановить, так как в противном случае были бы объединены уже кластеры, находящиеся на относительно большом расстоянии друг от друга. [15].

В рассматриваемых данных наибольший скачок с 3,183 до 3,831. Это означает, что после образования семнадцати кластеров мы больше не должны производить никаких последующих объединений, а результат с семнадцатью кластерами является оптимальным. Визуальный анализ так же предполагал результат с большим числом кластеров. Оптимальным считается число кластеров равное разности количества наблюдений (здесь: 85) и количества шагов, после которого коэффициент увеличивается скачкообразно (здесь: 68), то есть 17 кластеров.

В установках иерархического кластерного анализа SPSS можно задать предполагаемое число кластеров: выберем промежуток от 2 до 5 кластеров, поскольку оптимальные 17 кластеров тяжелы для восприятия и не совсем отвечают задаче агрегирования в группы. В выводе итогов по отдельности для результатов расчёта, содержащих 5, 4, 3 и 2 кластеров, приводится таблица с информацией о принадлежности каждого наблюдения к кластеру. Анализ данной таблицы показывает, что подавляющее большинство регионов относится к одной группе и лишь отдельные наблюдения формируют 2-й, 3-й и 4-й кластер, соответственно.

Следующие регионы остались вне границ одного большого кластера из 75 субъектов РФ: Воронежская область, Ивановская область, Костромская область, Республика Коми, Мурманская область, г. Санкт-Петербург, Ставропольский край, Республика Татарстан, Тюменская область, Республика Тыва. Судя по тому, что каждый раз при повышении числа возможных кластеров на 1 перечисленные регионы разделяются между собой, они разнородны и не имеют общих характеристик, а значит, построить типологическую регрессию по ним не представляется возможным.

В выводе итогов по иерархическому кластерному анализу приводится дендрограмма, которая визуализирует процесс слияния, приведенный в таблице порядка агломерации (Приложение 11). Она идентифицирует объединённые кластеры и значения коэффициентов на каждом шаге. При этом отображаются не исходные значения коэффициентов, а значения, приведенные к шкале от 0 до 25. Кластеры, полученные в результате слияния, отображаются горизонтальными пунктирными линиями. [15].

Сузив число рассматриваемых кластеров до 5 штук и рассмотрев средние значения факторов при таком разбиении регионов, можно сделать следующий вывод (Приложение 11):

Фактор 1 характеризует инвестиционно-изобретательскую активность региона и наиболее высокие его значения имеют регионы 4 кластера, например, Костромская область.

Фактор 2 характеризует площадь жилых домов на разных этапах строительства. Наблюдения 5 кластера — Мурманская область и Республика Тыва — характеризуются высокими значениями данного фактора.

Фактор 3 характеризует обеспеченность строительных организаций средствами механизации. Регионы 3 кластера (например, Ивановская область, г. Санкт-Петербург, Ставропольский край, Тюменская область) имеют высокие значения данной компоненты.

Фактор 4 представляет собой базовый индекс потребительских цен. Субъекты, вошедшие во 2 кластер (Воронежская область), имеют высокие значения данного фактора.

Таким образом, можно заключить, что немногочисленные 2, 3, 4 кластеры имеют аномальные (по сравнению с основным кластером из 75 регионов) значения хотя бы по одному из факторов.

Типологическая регрессия:

Построим теперь типологическую регрессию для основного первого кластера, состоящего из 75 субъектов РФ.

На основе матрицы парных коэффициентов корреляции было выявлено отсутствие мультиколлинеарности — наличие линейной зависимости между объясняющими переменными. Следовательно, построение регрессионной модели целесообразно. В противном случае из модели необходимо было бы исключить сильно коррелирующие между собой признаки.

Построение линейной регрессионной модели дало следующие результаты: статистика F=0,06, следовательно, гипотеза о равенстве нулю коэффициентов при всех регрессорах отвергается на уровне значимости 0,05. Коэффициент детерминации R² составил 0,89, значит доля вариации результирующего показателя (у) — индекса цен на первичном рынке жилья, объясняется с помощью факторов, включенных в модель: инвестиционно-изобретательской активности региона; площади жилых домов на разных этапах строительства; обеспеченности строительных организаций средствами механизации и базовым индексом потребительских цен. Коэффициент детерминации показывает весьма высокое качество подгонки регрессионной модели к наблюденным значениям. Скорректированный R² составляет 0,83 (ниже, чем коэффициент детерминации) и позволяет устранить эффект, связанный с ростом R² при возрастании числа регрессоров.

Анализ оценок коэффициентов регрессии (полученных по МНК) и их значимости говорит о том, что фактор 1, характеризующий инвестиционно-изобретательскую активность региона, не является значимым, а значит, должен быть исключен из уравнения регрессии (Приложение 12).

Линейная регрессионная модель со значимыми на уровне б=0,1 коэффициентами имеет следующий вид:

При увеличении площади жилых домов на разных этапах строительства на 1%, величина индекса цен на первичном рынке жилья возрастет в среднем на 0,94% (в сравнении с предыдущим годом, рассчитанная по всем типам квартир). Наиболее чувствителен результирующий показатель к фактору 3 — обеспеченность строительных организаций средствами механизации. Отметим так же, что все факторы находятся в положительной взаимосвязи с результирующим признаком. В частности, положительную связь между индексом потребительских цен и индексом цен на первичном рынке жилья можно объяснить стандартной макроэкономической теорией: рынки взаимосвязаны, а значит, подъем/спад на одном из них неизбежно приводит к реакции другого.

2) Анализ панельных данных по индексу цен на рынке жилья.

Исследование панельных данных будет проводиться на уже представленных ранее переменных (см. предыдущий пункт «Моделирование индекса цен на рынке жилья методами компонентного, кластерного и регрессионного анализа»).

Выбор именно этих признаков для последующего анализа обусловлен панельной структурой данных, позволяющей наблюдать за динамикой одних и тех же объектов по целому ряду переменных.

На основе имеющихся данных можно выделить ряд гипотез, которые предстоит подтвердить или опровергнуть в ходе дальнейшего анализа:

• 1) Показатель (х2) — базовый индекс потребительских цен — будет значим как в модели обычного МНК, так и в моделях с фиксированными и случайными эффектами.
• 2) Показатели (х1) — введено в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения, кв. метров; (х2) — базовый индекс потребительских цен, в % к предыдущему месяцу и (х5) — индекс изменения наличия средств малой механизации, применяемых в строительстве будут связаны с результирующим показателем (у) -обратной связью.
• 3) Все три построенные модели будут значимы на уровне б=0,05, однако не все коэффициенты перед регрессорами будут значимыми и экономически интерпретируемыми.

Актуальность анализа панельных данных состоит в следующем: [4].

• 1) Данные предоставляют исследователю большое количество наблюдений, увеличивая число степеней свободы, снижая коллинеарность между объясняющими переменными и, следовательно, улучшая эффективность оценок;
• 2) Данные позволяют анализировать множество важных экономических вопросов, которые не могут быть адресованы к временным рядам и cross-sectional данным (пространственные выборки) в отдельности;
• 3) Данные позволяют предотвратить смещение агрегированности, неизбежно возникающее как при анализе временных рядов, так и при анализе cross-section данных (где не учитываются ненаблюдаемые индивидуальные характеристики объектов);
• 4) Данные дают возможность проследить индивидуальную эволюцию характеристик объектов во времени.

Имеющиеся данные представляют собой сбалансированную панель за четыре временных периода (начиная с 2011 года до 2014 года включительно) по 85 субъектам России.

Источником данных является Федеральная служба государственной статистики — Росстат. Анализ панельных данных будет проведен при помощи трёх моделей: модель с обычным методом наименьших квадратов (МНК); модель с фиксированными эффектами и модель со случайными эффектами в пакете статистического анализа STATA.

Описательные статистики:

Кратко характеризуем вычисленные показатели дескриптивной статистики (Приложение 13):

Среднее арифметическое является мерой центральной тенденции, отображающей наиболее характерное для данной выборки значение. Для результирующей переменной (у), показывающей значение данного показателя на начало рассматриваемого периода (в 2011 г.) составило 102,7%. Это означает, что в среднем по 85 географическим районам, задействованным в обследовании, индекс цен на первичном рынке жилья составлял 102,7%. Значение исследуемого показателя выросло в течение 2011;2014 гг. на 2,4% и на конец 2014 г. составляет 105,1%. Среднее значение введенной в действие общей площади жилых домов (х1) по 85 регионам страны составляет на конец рассматриваемого периода 529,9 кв. метров на 1000 человек населения, что на 144,9 кв. метров больше величины соответственного показателя в 2011 г.

Коэффициент изобретательской активности (х3), то есть число отечественных патентных заявок на изобретения, поданных в России, составил 0,75 штук в расчете на 10 тыс. чел. населения в 2014 году, это значительно ниже значения исследуемого показателя в начале периода — он составлял 1,19 патентов в 2011 г.

На основе скорректированной дисперсии S² производится расчет среднеквадратического отклонения (СКО), которое показывает меру изменчивости, степень вариации признака, то есть его разброс относительно среднего арифметического. В данном случае переменная доли строительных организаций, необеспеченных строительными машинами и механизмами в общем количестве строительных организаций (х4), к примеру, имел в 2014 году разброс 3,6%, что в два раза меньше соответствующего показателя в 2011 году. Переменная доли инвестиций, направленных на реконструкцию и модернизацию, в общем объеме инвестиций в основной капитал (х6) так же сократила величину своего СКО и к концу 2014 г. имеет разброс 64,7%.

Значение коэффициента вариации выражает меру изменчивости признака в процентах и определяется путем деления СКО на среднее арифметическое. Изменчивость значений зависимой переменной (у) — индекс цен на первичном рынке жилья — составляет 4,8% в 2014 году против 5,6% для 2011 года.

Следующим показателем, содержащимся в таблице, является мода — значение, наиболее часто встречающееся в ряду переменных. Переменные (х2) — базовый индекс потребительских цен и (х5) — индекс изменения наличия средств малой механизации, применяемых в строительстве — имеют совпадающие значения моды и медианы в размере 100%.

Медиана показывает значение, которое делит пополам упорядоченное множество переменных. В данном случае, половина регионов, попавших в выборку, имеют значение индекса цен на первичное жилье менее 105%, а половина — больше 105%. Однако наиболее встречаемое величиной индекса цен на рынке жилья явилось значение 99,8%.

Так же в таблице (Приложение 13) содержится значение коэффициента асимметрии для результирующей переменной индекса цен на первичном рынке жилья. Коэффициент асимметрии — это показатель, отражающий перекос распределения относительно среднего арифметического влево или вправо. В данном случае отрицательную или правостороннюю асимметрию, демонстрирует переменная (y) в 2011 году. Это означает, что в распределении наблюдений по индексу цен на первичном рынке жилья чаще встречаются более высокие значения признака. Однако к концу исследуемого периода (2014 год) индекс цен на первичном рынке жилья демонстрируют левостороннюю, положительную асимметрию, то есть в распределении наблюдений по данным переменным чаще встречаются более низкие значения признака.

Эксцесс — показатель, отражающий высоту распределения. В тех случаях, когда какие-либо причины способствуют преимущественному появлению средних или близких к средним значений, образуется распределение с положительным эксцессом. В данном случае переменная индекса цен на первичном рынке жилья имеет положительный эксцесс на всем рассматриваемом временном промежутке с 2011 по 2014 гг.

Доверительный интервал для генерального среднего показывает промежуток, в который с вероятностью 95% попадает истинное значение среднего арифметического по всей генеральной совокупности, то есть по всем географическим районам страны. Данный показатель является более информативным, чем показатель арифметического среднего по выборке и исчисляется с учетом СКО, показывающего разброс значений данного показателя. Результирующая переменная индекса цен на первичном рынке жилья имеет невысокое значение коэффициента вариации как в начале, так и в конце рассматриваемого периода: 5,6% для 2011 года и 4,8% для 2014 года. Поэтому интервал для генерального среднего для данного показателя в 2014 г. достаточно узок: с вероятностью 95% значение индекса цен на первичном рынке жилья в любом из регионов страны будет находиться в промежутке от 95,22% до 115,04%. Однако, если учесть специфику расчета данного показателя — в % к предыдущему году — можно сделать вывод, что данный доверительный интервал «накрывает» 100% и поэтому не является информативным: не ясно, будет ли истинное для генеральной совокупности значение индекса цен на первичном рынке жилья выше или ниже индекса прошлого года.

Регрессия, оцененная обычным МНК:

На этапе составления дескриптивных статистик мы отметили, что показатель индекса цен на первичном рынке жилья демонстрирует левостороннюю асимметрию. Переход к натуральному логарифму позволит ее уменьшить. Кроме этого, переход к натуральному логарифму в ряде случаев позволяет приблизить распределение остатков регрессии к нормальным. Осуществим данное преобразование для всех исследуемых факторов и результирующего показателя и построим регрессионную модель обычным МНК.

Анализ таблицы дисперсионного анализа показывает, что TSS — вся дисперсия — составляет 1,04, тогда как не объясненная дисперсия RSS составила 0,95, а объясненная часть всей дисперсии MSS равна 0,09. (Приложение 14).

MS=SS/df, где df — число степеней свободы, равное 331.

Количество наблюдений для анализа составляет 85 субъектов РФ, данные по каждому региону за 4 года. Таким образом панель состоит из 340 значений по каждому признаку. Статистика F (8,331)=3,77 позволяет проверить гипотезу о равенстве нулю коэффициентов при всех регрессорах. Поскольку Prob > F=0.0003, что меньше б=0,05, следовательно, регрессионная модель, оцененная обычным МНК, является в целом значимой.

Коэффициент детерминации R²=MSS/TSS=0,08. Следовательно, лишь 8% вариации натурального логарифма (у) — индекса цен на первичном рынке жилья — обусловлено факторами, включенными в модель, то есть введенной в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения, базовым индексом потребительских цен, коэффициентом изобретательской активности, долей строительных организаций, необеспеченных строительными машинами и механизмами в общем количестве строительных организаций, индексом изменения наличия средств малой механизации, применяемых в строительстве, отношением общей площади незавершенных жилых домов к годовому вводу жилья, долей инвестиций, направленных на реконструкцию и модернизацию, в общем объеме инвестиций в основной капитал, долей инвестиций в машины, оборудование, транспортные средства в общем объеме инвестиций в основной капитал.

Скорректированный коэффициент детерминация Adj R-squared составляет 0,06. Он позволяет устранить эффект, связанный с ростом R-squared при возрастании числа регрессоров. Корень из оценки дисперсии случайной составляющей Root MSE составил 0,053.

Полученная регрессионная модель имеет следующий вид:

Говоря отдельно о каждом регрессоре, важно отметить, что лишь три регрессора являются значимыми на уровне б=0,1: это натуральные логарифмы переменных (х2) — базовый индекс потребительских цен, (х3) — коэффициент изобретательской активности и (х4) — доля строительных организаций, необеспеченных строительными машинами и механизмами в общем количестве строительных организаций. Только для константы и натурального логарифма переменной (х2) 95% доверительный интервал не «накрывает» ноль, что так же свидетельствует о значимости данного коэффициента регрессии.

Интерпретировать полученную регрессию можно следующим образом: при увеличении натурального логарифма базового индекса потребительских цен на 1%, величина натурального логарифма индекса цен на первичном рынке жилья упадет в среднем на 3,6% (в сравнении с предыдущим годом, рассчитанная по всем типам квартир). Зная изменение натурального логарифма переменной от того или иного фактора можно легко определить на сколько изменится сам показатель. Результирующий показатель наиболее чувствителен к фактору (х2). Отметим так же, что все остальные факторы находятся в положительной взаимосвязи с результирующим признаком.

Однако, несмотря на значимость в целом уравнения регрессии, построенной обычным МНК, данная модель не отражает корректным образом зависимость между результирующей переменной индекса цен на первичном рынке жилья и набором влияющих на эту переменную факторов. Данный факт можно объяснить тем, что исследуемая выборка состоит из разных географических регионов с индивидуальными характеристиками, эффекты которых не учитываются в обычном уравнении регрессии.

Модель с фиксированными эффектами:

Общий вид модели детерминированными эффектами выглядит следующим образом: [4].

Где б_i — факторы, которые не меняются во времени, фиксированные эффекты (т.е присутствуют индивидуальные эффекты экономических единиц).

Модель с фиксированными эффектами — это исходная регрессионная модель, переписанная в терминах отклонений от средних по времени значений переменных. Построение модели с фиксированными эффектами базируется на двух положениях: ошибки регрессии не имеют связи между собой и не связаны с регрессорами.

Модель с фиксированными эффектами, также как и регрессия в первых разностях по времени, удобна тем, что позволяет элиминировать из модели ненаблюдаемые индивидуальные эффекты. Оценивание модели производится обыкновенным МНК (Приложение 14).

Модель с фиксированными эффектами, оцененная в пакете STATA, получилась в целом значимой на уровне б=0,05, поскольку Prob > F =0,000, что меньше 0,05. Коэффициенты при натуральных логарифмах переменных (х1) — введено в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения и (х2) — базовый индекс потребительских цен получились значимыми на уровне 0,05, поскольку для них Р-значение < б=0,05. Коэффициенты перед остальными регрессорами незначимы, для них доверительный интервал «накрывает ноль» (то есть нижняя граница доверительного интервала для каждого коэффициента меньше нуля, а верхняя граница — больше нуля).

Так же оцененная модель с фиксированными эффектами имеет следующие характеристики:

Sigma_u — стандартная ошибка для индивидуальных эффектов u, составляет 0,037, тогда как sigma_e — стандартная ошибка для е, составляет 0,049.

Коэффициент = 0,367. Следовательно, 36,7% вариации данных приходится на индивидуальные эффекты.

Для состоятельности МНК-оценок модели с детерминированными индивидуальными эффектами требуется только некоррелированность е и Х. Корреляция между Х и u допустима. Это проявление гибкости FE-модели. Если значение corr (u_i, Xb) высоко, то использование модели с фиксированными эффектами оправдано. В данном случае корреляция индивидуальных эффектов с регрессорами умеренна и составляет corr (u_i, Xb)= -0,41.

Модель со случайными эффектами:

Общий вид модели со случайными эффектами:

Модель со случайными эффектами подразумевает, что индивидуальные различия между объектами (в данном случае, регионами РФ) носят случайный характер. Ошибки модели состоят из двух компонент: индивидуальной характеристики, не изменяющейся с ходом времени, и остаточной компоненты, которая предполагает некоррелированность во времени. Однако в действительности ошибки модели коррелированны во времени по причине наличия индивидуальных эффектов. Модель со случайными эффектами предполагает, что остаточная и индивидуальная составляющие ошибок модели не зависят друг от друга, тогда оценка вектора коэффициентов регрессии и оценка константы будут несмещенными и состоятельными. [4].

Модель со случайными эффектами можно рассматривать как компромисс между сквозной регрессией, налагающей сильное ограничение гомогенности на все коэффициенты уравнения регрессии для любых i и t, и регрессией с фиксированными эффектами, которая позволяет для каждого объекта выборки ввести свою константу и, таким образом, учесть существующую в реальности, но ненаблюдаемую гетерогенность.

Для построения модели со случайными эффектами в Excel необходимо найти параметр

где — квадрат стандартной ошибки, то есть дисперсия из модели с фиксированными эффектами; - квадрат стандартной ошибки, то есть дисперсия из between-модели. Далее рассчитывается =.

Затем, на основе полученного значения мы используем обобщенный метод наименьших квадратов — GLS-преобразование («Generalized Least Squares») — для оценки модели со случайными эффектами.

При интерпретации модели со случайными эффектами не следует опираться на R², так как в регрессии, оцененной с помощью GLS, он уже не является адекватной мерой качества подгонки. О значимости регрессии в целом свидетельствует достаточно высокое значение статистики Вальда — Wald chi2(8)=34,03. Модель можно считать значимой на уровне б=0,05 (Приложение 15).

Выражение corr (u_i, X) = 0 (assumed) отражает гипотезу, лежащую в основе модели со случайными эффектами. Регрессоры должны быть некоррелированными с ненаблюдаемыми случайными эффектами. В данном случае оценка вектора коэффициентов регрессии и оценка константы будут несмещенными и состоятельными. [4].

Коэффициент = 0,096. Следовательно, 9,6% вариации данных приходится на индивидуальные эффекты, что в 4 раза меньше, чем в модели с фиксированными индивидуальными эффектами.

Коэффициенты при натуральных логарифмах переменных (х2) — базовый индекс потребительских цен, (х3) — коэффициент изобретательской активности и (х4) — доля строительных организаций, необеспеченных строительными машинами и механизмами в общем количестве строительных организаций оказались значимы на уровне б=0,1. Только для константы и натурального логарифма переменной (х2) 95% доверительный интервал не «накрывает» ноль, что так же свидетельствует о значимости данного коэффициента регрессии. Оставшиеся регрессоры оказались незначимыми.

По сравнению с моделью фиксированных эффектов, модель со случайными эффектами включает в себя большее число значимых регрессоров.

Сравнительный анализ моделей, выбор наиболее адекватной:

Итак, нами были построены три основные регрессии: сквозная по методу обычного МНК, регрессия с фиксированными индивидуальными эффектами и регрессия со случайными индивидуальными эффектами. Выберем из них модель, наиболее адекватную имеющимся данным. Для этого необходимо провести попарное сравнение оцененных моделей с помощью ряда статистических критериев:

• · Тест Вальда для сравнения регрессионной модели с фиксированными эффектами со сквозной регрессией,
• · Тест Бройша-Пагана для сравнения регрессионной модели со случайными эффектами со сквозной регрессией,
• · Тест Хаусмана для сравнения регрессионной модели со случайными эффектами с регрессионной моделью с фиксированными эффектами.

Тест Вальда проверяет гипотезу о равенстве нулю всех индивидуальных эффектов. STATA автоматически проверяет данную гипотезу одновременно с оцениванием модели с фиксированными эффектами и выводит результат в последней строке таблицы вывода итогов.

В нашем случае (Приложение 14) поскольку p-уровень<0,01, то нулевая гипотеза отвергается на уровне значимости 0,05. Таким образом, с вероятностью 95% регрессионная модель с фиксированными эффектами лучше подходит для описания панельных данных по индексу цен на первичном рынке жилья, чем модель простой регрессии.

Критерий Бреуша-Пагана — это критерий для проверки гипотезы о значимости случайных эффектов, основанный на остатках простой МНК регрессии. Выдвигается нулевая гипотеза о том, что все случайные эффекты незначимы и можно использовать стандартный МНК. [4].

Статистика хи-квадрат составляет 8,09, а её p-уровень=0,004 (Приложение 16). Следовательно, нулевая гипотеза о том, что все случайные эффекты незначимы, отклоняется на уровне б=0,05. Следовательно, модель со случайными эффектами более предпочтительна, чем модель сквозной регрессии.

Суть теста Хаусмана заключается в проверке нулевой гипотезы о том, что оценки модели с фиксированными эффектами и модели со случайными эффектами состоятельны и одинаково эффективны. Конкурирующая гипотеза о том, что оценки состоятельны только в модели с фиксированными эффектами (Приложение 16).

Поскольку p-уровень=0,001 < б=0,05, то основная гипотеза отвергается на заданном уровне значимости. Иными словами, состоятельными являются оценки модели с фиксированными эффектами.

Проанализируем отобранную по тесту Хаусмана модель с фиксированными эффектами на адекватность. Поскольку регионы, входящие в выборку, неоднородны, можно предположить, что в остатках модели присутствует гетероскедастичность и автокорреляция первого порядка. Тест Бреуша-Пагана подтверждает наличие гетероскедастичности в остатках модели на заданном уровне значимости 0,05, тогда как критерий Дарбина-Уотсона демонстрирует наличие автокорреляции первого порядка в остатках модели с вероятностью 95%.

Данные несферические возмущения необходимо скорректировать при помощи обобщенного метода наименьших квадратов (ОМНК), либо использовать поправку Уайта и Ньюи-Веста. После подобной корректировки (то есть устранения гетероскедастичности и автокорреляции первого порядка) оценки, полученные с помощью МНК, являются наилучшими линейными несмещенными оценками.

По анализу панельных данных можно сделать вывод о том, что некоторые из начальных гипотез оказались верными или частично верными. В частности, подтвердились следующие гипотезы:

• 1) Показатель (х2) — базовый индекс потребительских цен — оказался значим как в модели сквозной регрессии, так и в моделях с фиксированными и случайными эффектами.
• 2) Показатели (х1) — введено в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения, кв. метров и (х2) — базовый индекс потребительских цен связаны с результирующим показателем (у) -обратной связью.
• 3) Все три построенные модели будут значимы на уровне б=0,05, однако не все коэффициенты перед регрессорами оказались значимыми и экономически интерпретируемыми.

Результаты оценивания каждой из трёх построенных моделей содержатся в Приложении 17.

Таким образом, в результате анализа панельных данных была выбрана значимая модель с фиксированными индивидуальными эффектами, что может быть интерпретировано следующим образом: результирующий показатель индекса цен на первичное жилье зависит не только от введенной в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения и базового индекса потребительских цен, но и от некоторого параметра, который различается для разных регионов, но фиксирован для каждого отдельного региона с течением времени.

Заключение

В соответствии с актуальными целями и задачами, поставленными в рамках данной работы, получен ряд результатов:

• · Изучен ряд основополагающих методологических принципов построения оперативных индикаторов по строительству: перечень обязательных к публикации индексов (таблица 2), степень детализации оперативной информации по классификатору видов экономической деятельности NACE Rev.2 (код F — строительство), форма предоставления рассчитанных индикаторов (абсолютная/индексная по абсолютному показателю/индексная по стоимостному показателю), периодичность их публикаций (от ежемесячной до ежеквартальной) и сроки предоставления данных в Евростат (от 1 месяца 15 дней до квартала).
• · Рассмотрены альтернативные методы расчета индикаторов ОБС по строительной отрасли: на основе данных по объему выпуска, по величине валового производства, товарооборота, затрат труда, объема использованных строительных материалов, числа полученных строительных лицензий. С методологической точки зрения, подход к расчету индексов строительной отрасли на основе данных по величине валового производства является наиболее предпочтительным, поскольку по своей сути он ближе к концепции добавленной стоимости и значит, принимает в расчет качественные изменения в структурах отрасли.
• · Среди периодических публикаций Евростата по строительству было выявлено, что квартальные обзоры наиболее репрезентативно отражают динамику индекса физического объема производства в строительной отрасли, индекса трудозатрат в строительстве и индекса цен на строительные материалы с учетом сезонных колебаний.
• · На основе сформированного списка оперативных показателей Росстата по строительству был проведен сравнительный анализ разрезов разработки, требований и характеристик показателей ОБС Евростата и Росстата: свойство оперативности и регулярности выполняется как для России, так и для Европы (данные публикуются не реже, чем раз в квартал), форма выражения показателей обеих систем индексная, абсолютная или стоимостная.

Для повышения качества оценки состояния и тенденций развития строительного сектора РФ, Росстату необходимо совершенствовать методологию расчета и предоставления оперативных индикаторов (таблица 2) в следующих направлениях:

• 1) Осуществлять корректировку с учетом сезонности и календарных эффектов для следующих показателей производства в строительстве (ввод в действие зданий жилого и нежилого назначения, ввод в действие производственных мощностей, объем заключенных договоров строительного подряда), показателей рабочей силы в строительстве (среднесписочная численность работников, средняя фактическая продолжительность рабочего времени работников списочного состава, среднемесячная номинальная начисленная заработная плата работников), показателей всех видов затрат в ходе строительного процесса (материальные затраты, затраты на оплату труда и прочие затраты) и показателя выданных разрешений на строительство. При выполнении Росстатом данной рекомендации, процедура выявления поворотных точек бизнес-цикла существенно упростится, и повысится качество международных сопоставлений не только по индексу производства строительной отрасли, но и по опережающим индикаторам — композитным индексам деловой активности.
• 2) На ежемесячной основе производить расчеты (с последующей общедоступной публикацией результатов) не только агрегированного показателя общего объема заключенных договоров строительного подряда, но и отдельно по направлениям «строительство зданий», «строительство инженерных сооружений». На ежемесячной основе производить расчеты (с последующей общедоступной публикацией результатов) опережающего показателя числа выданных разрешений на строительство не только по муниципальным образованиям (поселения, муниципальные районы, городские округа), но и в целом по России. Реализация указанной рекомендации позволит российскому бизнес-сообществу адекватно оценивать текущие тенденции строительной отрасли, сопоставлять их с тенденциями в странах Евросоюза и еврозоны, а также предсказывать поворотные точки бизнес-циклов на основе своевременно опубликованных с необходимой степенью детализации опережающих индикаторов выданных разрешений на строительство и портфеля заключенных договоров стройподряда.
• 3) Внедрить принцип средневзвешенных индикаторов по субъектам РФ — выбранные веса должны отражать относительный размер строительной отрасли в конкретном субъекте РФ в установленном базисном году. Применение Росстатом рекомендованного метода повысит репрезентативность оперативных показателей строительной отрасли России.

Среди уже осуществленных положительных изменений важно отметить переход к формату российского классификатора ОКВЭД версии 2, идентичному европейскому классификатору NACE Rev.2 во всех разделах, в т. ч. и в разделе F — строительство. До 1 февраля 2014 г. в России действовал классификатор ОКВЭД версии 1, не имеющий подразделения на европейские категории «строительство зданий» (код № 41 по NACE Rev.2), «гражданское строительство» (код № 42) и «специальные строительные работы» (код № 43), однако теперь расчеты Росстата по строительной отрасли будут учитывать указанное подразделение. В результате качество предоставляемой в рамках ОБС информации существенно повысится и возрастет точность краткосрочных прогнозов динамики ключевых показателей строительной отрасли. В случае полного соответствия европейского и российского классификаторов, у российского бизнес-сообщества появится возможность ориентироваться на бизнес-сообщества развитых стран Евросоюза и еврозоны, а значит, строительный сектор РФ сможет своевременно реагировать на меняющуюся конъюнктуру в указанной отрасли экономики.

Согласно краткосрочному прогнозу, построенному по оптимальной мультипликативной тренд-сезонной модели, следует ожидать рост объемов строительных работ (млрд.руб) и сохранение сезонных особенностей исследуемого показателя: при условии отсутствия внешних экономических шоков, локальный максимум летних месяцев придется на август — объем строительных работ в стоимостном выражении составит 685,9 млрд. руб, локальный максимум осенних месяцев — сентябрь (период № 57), где ожидаемый прирост объемов строительных работ по сравнению с пиком летних месяцев должен составить 9% (прогнозное значение показателя 745,5 млрд. руб), тогда как глобальный максимум объемов строительных работ за весь прогнозный период ожидается в декабре и должен составить 1009,5 млрд руб.

Согласно краткосрочному ежемесячному прогнозу динамики стоимостных значений объема заключенных договоров строительного подряда, построенному по оптимальной модель ARMA (2,1), ожидается сохранение сезонной компоненты во временном ряду исследуемого показателя. При условии отсутствия внешних шоков, с вероятностью 95% максимальные денежные суммы, на которые будут заключены договора строительного подряда, будут находиться в интервале от 466,1 млрд. руб до 583,7 млрд. руб и относиться к маю и июлю 2015 г. (точечные оценки для указанных месяцев составляют 517,1 млрд. руб и 527,4 млрд. рублей), соответственно. В течение осенних месяцев и начала зимних ожидается спад стоимостных значений показателя заключенных договоров стройподряда, на конец рассматриваемого периода (декабрь 2015 г.) он с вероятностью 95% примет значение в интервале от 379,8 млрд. руб до 484,4 млрд. руб (точечная оценка для указанного месяца составляет 432,2 млрд. руб).

Проведенный компонентный анализ разбил все признаки, влияющие на индекс цен на рынке жилья, на четыре фактора: инвестиционно-изобретательскую активность региона; площадь жилых домов на разных этапах строительства; обеспеченность строительных организаций средствами механизации и базовый индекс потребительских цен. Иерархический кластерный анализ показал нецелесообразность разбиения данных по субъектам РФ на большое число групп и выявил наиболее массивный кластер из 75 регионов, по которому была построена типологическая регрессия.

Анализ панельных данных включал рассмотрение модели сквозной регрессии и моделей с фиксированными и случайными индивидуальными эффектами. Согласно тесту Хаусмана состоятельными являются оценки в модели с фиксированными эффектами. Модель хороша тем, что позволяет элиминировать из модели ненаблюдаемые индивидуальные эффекты. Значимая модель с фиксированными эффектами показала, что результирующий показатель индекса цен на первичное жилье зависит не только от введенной в действие общей площади жилых домов на 1000 человек населения и базового индекса потребительских цен, но и от некоторого параметра, который различается для разных регионов, но фиксирован для каждого отдельного региона с течением времени.