Метод обратности. 
Геометрия: планиметрические задачи на построение

Практическое применение этого метода видно из следующих задач.

Задача 6.37. В данный ААВС вписать такой треугольник, стороны которого были бы параллельны сторонам другого данного AKLM.

Решение

Анализ. Допустим, что задача решена (рис. 6.37, а) и AK₁L_]M₁ есть искомый, т. е. K₁L_l || KL, L]M] || LM и K₁M_l || KM. Так как из чертежа не усматриваем таких конструктивных зависимостей, которые позволяют построить АК₁Ь₁М₁, то превращаем предложенную задачу в обратную.

Рис. 6.37.

Обратная задача. Около данного AKLM описать такой треугольник, стороны которого были бы параллельны сторонам другого данного ААВС.

Решить обратную задачу легко: если через вершины К, L, М треугольника KLM проведем прямые, параллельные сторонам данного треугольника АВС (рис. 6.37, б), то эти прямые попарно пересекутся в точках А', В', С, и получим ДА’В’С' описанный около AKLM.

Но если стороны одного треугольника параллельны сторонам другого, то такие треугольники подобны, а потому ДАВС ~ ДА’В’С', AK₁L₁M₁ ~ AKLM, ААК_]М₁ ~ АА’КМ и т. д.

Из подобия этих треугольников вытекает, что точки К, L, М треугольника А’В’С' являются сходственными точками подобного треугольника АВС. Отсюда следует, что АК_Х: А’К = АВ: А’В'. Три члена этой пропорции — А’К, АВ и А’В' — нам известны (АВ — из условия задачи, А’К и А’В' — по построению), а потому можем определить четвертый член АК_Х.

Как только будет найден отрезок АК_Ь то можем на стороне АВ отметить положение точки К_х. Для этого надо на стороне АВ от точки, А отложить отрезок, равный найденному значению AK_V Далее, чтобы закончить требуемое построение, достаточно из точки К_х провести прямые K_XS и К_ХТ, параллельные сторонам KL и КМ треугольника KLM. Прямые K_XS и К_ХТ пересекут стороны треугольника АВС в некоторых точках L_x и М_х.

Соединив К_х с точками L_} и М, получим искомый AK_lL₁M₁.

Построение. 1. Через точки К, L, М проводим прямые, параллельные сторонам треугольника АВС, и получаем ДА’В’С', описанный около AKLM.

• 2. Точку К_х треугольника АВС, сходственную точке К треугольника А’В’С', определяем (известным построением) из пропорции АК_У: А’К = = АВ: А'В'.
• 3. На стороне АВ от точки А откладываем найденный отрезок AK_V
• 4. Из точки К_х проводим прямые, параллельные сторонам KL и КМ AKLM. Эти прямые пересекут стороны ДАВС в точках L, и М,.

AKjLjMj — искомый.

Исследование. Так как, во-первых, через каждую из трех несовпадающих точек плоскости всегда можно провести прямые, параллельные сторонам треугольника, лежащего в той же плоскости, и получить подобный ему треугольник и, во-вторых, треугольники АВС и KLM нам даны, а значит, существуют и подобные им треугольники А’В’С' и K₁L_lM_l, то приходим к выводу, что всегда возможно осуществить требуемое построение.

Задача 6.38. В данный ДАВС вписать треугольник, подобный данному AKLM, так, чтобы одна из его вершин (К) лежала в точке Р, данной на основании АВ (рис. 6.38).

Решение

Рассмотрим задачу, обратную данной.

Обратная задача. Описать около данного AKLM такой ДА’В’С', который подобен ААВС, причем его сторона А’В' проходит через точку К и делится ею в отношении АР: РВ.

юз.

Рис. 6.38.

Анализ. Допустим, что чертеж (рис. 6.39) представляет собой решение обратной задачи.

Рис. 6.39.

Из точки А' отрезок KL виден под утлом а. Геометрическим местом таких точек является дуга сегмента, который построен на отрезке KL и вмещает угол а. Аналогичное замечание можем сделать о положении точки В': она находится на дуге сегмента, построенного на отрезке КМ и вмещающего угол р. Нам надо через точку К провести такую прямую, чтобы А’К: КВ' = АР: РВ. Это построение мы можем выполнить. Затем, проведя через точки МиВ' прямую до пересечения в некоторой точке С с прямой, проходящей через точки L и А', получим АА’С’В', представляющий собой решение обратной задачи.

Чтобы получить решение прямой задачи, достаточно на стороне АВ при точке Р построить угол APS', равный углу A’KL, и угол ВРТ, равный углу В’КМ, а затем соединить прямой точки S и Г, в которых прямые PS' и РТ' пересекают стороны АС и ВС. Действительно, APST — искомый: он подобен треугольнику KLM, вписан в ААВС и имеет одну из вершин в точке Р.

Задача 6.39. В данный сектор ОАВ вписать квадрат, две вершины которого находятся на дуге данной фигуры, а третья и четвертая вершины — на боковых сторонах (рис. 6.40).

Рис. 6.40.

Решение

Превратим предложенную задачу в обратную.

Обратная задача. Около квадрата описать сектор, подобный данному, причем так, чтобы дуга сектора прошла через две вершины квадрата, а боковые стороны сектора — через третью и четвертую вершины квадрата.

Построение, относящееся к обратной задаче, таково (рис. 6.41).

Рис. 6.41.

• 1. Строим какой-нибудь квадрат KLMN.
• 2. Проводим прямую Р_:Р₂ через середины двух противоположных сторон квадрата KL и MN.
• 3. Через точку К проводим прямую К_}К₂, образующую с прямой Р_}Р₂ угол КРР₂, равный половине угла данного сектора, т. е. ZKPP₂ =—ZAOB.
• 4. Проводим прямую L_XL₂ через точки Р и L.
• 5. Около точки Р радиусом, равным PN, чертим дугу ST между сторонами ZK₂PL₂.

Обратная задача решена: сектор PST подобен данному сектору ОАВ (см. рис. 6.41) и описан около квадрата.

Чтобы перейти к решению прямой задачи, рассуждаем так: в каком отношении точка L рассекает сторону РТ сектора PST, в таком же отношении вершина С квадрата, вписанного в сектор ОАВ, рассечет сторону ОБ.

Отсюда ясно, как можно выполнить построение, требуемое в прямой задаче.

• 1. Сторону ОБ данного сектора делим в отношении PL: LT, т. е. находим такую точку С, чтобы ОС: СВ = PL: LT.
• 2. Из точки О радиусом, равным отрезку ОС, делаем засечку D.
• 3. Соединив точки С и D, получим сторону квадрата, вписанного в сектор ОАВ.
• 4. На стороне CD строим искомый квадрат CDEF.

Задача 6.40. Построить треугольник, равный данному AKLM, так чтобы его вершины лежали на трех данных прямых ОА, ОБ и ОС, выходящих из одной точки (рис. 6.42).

Рис. 6.42.

Решение

Предварительно решим обратную задачу.

Обратная задача. Найти такую точку, чтобы прямые, выходящие из нее, проходили бы через вершины AKLM и образовывали бы между собой углы, равные ZAOB и ZBOC.

Анализ. Предположим, что требуемое построение выполнено (рис. 6.43) и точка О' удовлетворяет этому требованию, т. е. ZLO’K = = ZAOB и ZLO’M = ZBOC, отрезок KL виден из точки О под углом а, а отрезок LM — под углом (3.

Рис. 6.43.

Построение. 1. Строим на отрезках KL и LM сегменты, вмещающие соответственные углы, а и (3. Пересечение дуг этих сегментов определит положение точки О'.

2. Из точки О' через точки К, ЬиМ проводим прямые О’А', О’В', О’С и получаем решение обратной задачи.

Переходя к предложенной задаче, построение заканчиваем следующим образом.

• 3. Из точки О на прямых ОА, ОВ и ОС раствором циркуля, равным О’К, O’L и О’М, делаем засечки К_ь L_b и М_х.
• 4. Соединив точки К_ь и М_х получим решение прямой задачи, а именно AK_lL₁M₁, который равен данному AKLM и имеет вершины на данных прямых ОА, ОВ и ОС.

Задача 6.41. В данный сектор вписать правильный треугольник, стороны которого заданы.

Решение

Вместо того чтобы в данный сектор вписывать треугольник, равный данному, поступим наоборот — около данного треугольника опишем сектор, равный заданному. Построение здесь достаточно очевидно. Рассмотрим правильный треугольник АВС с заданной стороной (рис. 6.44). Построим на стороне АС во внешнюю сторону к треугольнику дугу окружности, такую что углы, соответствующие этой дуге, равнялись бы углу данного сектора (ZAMC = а, где М — точка на дуге).

Рис. 6.44.

Затем построим окружность с центром в точке В и радиусом, равным радиусу данного сектора. Пусть О — одна из точек пересечения построенных дуги и окружности. Взяв О в качестве центра сектора, описанного около треугольника АВС, легко построить сектор.