Фундаментальные понятия, идеи и методы математики

Мои результаты мне давно известны, я только не знаю, как я к ним приду.

Карл Гаусс

Каждая наука имеет свой понятийный аппарат, свои ключевые идеи, методы и конструкции. Исходные интуитивные (ставшие абстрактными) понятия математики — число и геометрическая фигура. В конце XIX века они были аксиоматизированы (Пеано и Гильберт). В настоящее время, на наш взгляд, можно выделить два ведущих понятия: функция и доказательство. Как уже было сказано, понятие функции отражает в математике категорию движения, а доказательство — причинно-следственные связи. Функции выражают содержание математики, а доказательства — ее логику.

По типу изучаемых функций можно провести классификацию математических дисциплин. Современная алгебра изучает алгебраические операции. Сигнатура рассматриваемой совокупности алгебраических операций и их свойства дают конкретные классы алгебраических структур (группы, кольца, решетки и т. д.). При этом важнейшую роль играют гомоморфизмы однотипных алгебр. Классический математический анализ исследует числовые функции и такие их важнейшие свойства, как непрерывность, дифференцируемость, интегрируемость, измеримость. В известной эрлангенской программе (1872 год) Феликс Клейн определил геометрию как науку о геометрических преобразованиях (движения, аффинные или проективные преобразования и т. п.) и предложил классифицировать различные геометрии по виду группы их преобразований. Топология изучает непрерывные отображения, в частности гомеоморфизмы топологических пространств. Теория упорядоченных структур — изотопные (сохраняющие порядок) отображения. В теории категорий понятию функции соответствует обобщенное понятие морфизма.

В теоретико-множественной (читай: классической) математике первичными неопределяемыми понятиями служат множество и отношение принадлежности элемента множеству. Через них определяется и понятие функции. С понятием функции тесно связаны следующие важные понятия: образ, прообраз, частичная функция, отображение, инъективность, сюръективность, биективность. Но основным является понятие композиции, или суперпозиции функций, — это последовательное выполнение функций. В терминах (частичной) бинарной операции композиции отображений можно выразить многие свойства данного отображения, в частности его инъективность, сюръективность и биективность.

Фундаментальное понятие доказательства выражает суть дедуктивного характера математики. По Бурбаки, «математика — это доказательство». Строгое определение доказательства дает математическая логика (об этом говорилось выше). Заметим, что существует специальный раздел математической логики — теория доказательств (у Аристотеля — система дедукции).

Любая математическая теория также имеет свои основные понятия. Интересно и полезно проследить историю их возникновения и развития. Возьмем теорию групп. Фундаментальное понятие группы формировалось более 100 лет. Неформально группу подстановок корней многочленов рассматривал еще Лагранж в 1771 году при попытке решения проблемы о разрешимости алгебраических уравнений в радикалах. Далее эти исследования были развиты итальянским математиком Паоло Руффини, норвежцем Нильсом Абелем и французом Эваристом Галуа. Именно Галуа в 1830 году ввел термин «группа», хотя и не дал строгого определения. Для представления конечных (мультипликативных) групп Кэли использовал таблицы умножения, называемые теперь.

таблицами Кэли, и доказал теорему о представлении любой конечной группы подстановками.

Большой вклад в формирование теоретико-групповых понятий внесли французский математик Камиль Жордан, немец Фердинанд Фробениус, норвежский математик Софус Ли во второй половине XIX века. Так, Ли дал современное определение для группы преобразований. Впервые абстрактное определение группы дано немецким математиком Генрихом Вебером в 1896 году. В самостоятельную алгебраическую дисциплину теория групп оформилась с выходом книги российского математика и знаменитого полярника О. Ю. Шмидта «Абстрактная теория групп» в 1916 году. В настоящее время теория групп является одним из ведущих разделов абстрактной математики, имеет многочисленные применения как в самой математике, так и в естествознании.

Как уже было отмечено, понятие группы формализует общенаучное понятие симметрии. С каждой фигурой обычного трехмерного пространства ассоциирована группа всех ее самосовмещений, т. е. движений пространства, рассматриваемых с операцией композиции, при которых фигура отображается сама на себя. Чем богаче группа самосовмещений фигуры, чем большую мощность она имеет, тем совершеннее, симметричнее сама фигура. Так, квадрат симметричнее отрезка, а окружность симметричнее любого правильного многоугольника. Наряду с понятием симметрии существует и идея симметрии, которая может проявляться разнообразно: и наглядно-геометрически, и комбинаторно (симметрический перебор или симметрическая стратегия), и абстрактно-алгебраически. В последнем случае идея симметрии заключается в сопоставлении математическому объекту его группы автоморфизмов.

Далее рассмотрим понятия топологического пространства и упорядоченного множества, составляющие вместе с алгебраической структурой основные типы математических структур (по Бурбаки).

Топологические пространства тесно связаны с общим понятием предела и являются частью топологии, непрерывной математики. Центральной идей, формирующей топологию как математическую дисциплину, служит идея непрерывности.

Важнейший класс топологических пространств образуют метрические пространства, т. е. множества с заданной на них метрикой (расстоянием). Метрические пространства определены французом Морисом Фреше в 1906 году. В 1914 году немецкий математик Феликс Хаусдорф первым ввел и изучил понятие отделимого топологического пространства (хаусдорфова пространства). Он считается создателем общей, или теоретико-множественной топологии — раздела математики, исследующего топологические пространства и их непрерывные отображения.

Общее определение топологического пространства было дано в начале 20-х годов XX века российским математиком П. С. Александровым (через семейство открытых множеств) и поляком Казимиром Куратовским (через оператор замыкания). П. С. Александров и П. С. Урысон являются основателями всемирно известной российской топологической школы. К основным топологическим понятиям относятся компактность, связность, так называемые аксиомы отделимости и счетности, непрерывное отображение и гомеоморфизм, размерность и ряд других.

Существуют причудливые метрические и топологические пространства. Если в определении метрики заменить аксиому треугольника более сильной (расстояние между любыми двумя точками не превосходит наибольшего из расстояний от этих точек до произвольной третьей точки пространства), то получим понятия ультраметрики и улътраметрического пространства. Легко привести примеры конечных ультраметрических пространств. Ультраметрическим пространством служит пространство р-адических чисел, введенных немецким математиком Куртом Гензелем в теории чисел. Нетрудно задать нетривиальную ультраметрику на множестве рациональных чисел. Первое из этих пространств полное, а второе нет. Любопытно, что в каждом ультраметрическом пространстве все треугольники равнобедренные (по большей стороне), а из двух пересекающихся шаров один обязательно вложен в другой. Отметим также, что сходимость р-адического ряда равносильна стремлению к нулю его общего члена.

А теперь рассмотрим пример «странного» топологического пространства. Возьмем множество всех натуральных чисел и объявим открытыми в нем пустое множество и множества, каждое из которых есть множество всех натуральных чисел, больших некоторого натурального числа или равных ему. В этом топологическом пространстве 1 — единственная замкнутая точка; каждый элемент имеет лишь конечное множество окрестностей; оно является Т₀-пространством, т. е. для любых двух различных натуральных чисел найдется окрестность, содержащая ровно одно из них — большее (для меньшего числа такой окрестности нет). Интересно заметить, что любая точка построенного пространства является пределом стандартной последовательности 1, 2,…, п,… .

Переходим к порядковой структуре. В теории упорядоченных множеств воплощается в чистом виде идея сравнения объектов по величине. Понятия отношения порядка и упорядоченного множества формулируются столь же естественно и просто, как и метрика или топологическое пространство. Бинарное отношение на множестве называют порядком, если оно рефлексивно (сравнимость с самим собой), транзитивно («транзитом» через второй элемент) и антисимметрично (двойное неравенство есть равенство). Множество с заданным на нем порядком называется упорядоченным множеством.

Основными понятиями, связанными с порядком, являются: наибольший и наименьший элементы, максимальный и минимальный элементы, точные грани, сравнимость, линейность (цепь), сечение, вполне упорядоченное множество, решетка, полная решетка, изотонное отображение, дополнение, дистрибутивная решетка, булева алгебра, упорядоченные группа, кольцо и поле. Имеет место принцип двойственности: если верно некоторое утверждение об упорядоченных множествах, то верно и двойственное утверждение, в котором исходный порядок заменен на обратный к нему порядок. Индуктивные рассуждения основаны на порядковой структуре. Доказательства, определения и построения по трансфинитной индукции (в частности, по обычной математической индукции) широко применяются в современной математике.

Конечные упорядоченные множества, как и конечные графы, играют важную роль в дискретной математике. Существует наглядное и продуктивное изображение конечных упорядоченных множеств диаграммами Хассе. Важно отметить, что имеются естественные взаимно однозначные соответствия между конечными упорядоченными множествами, конечными дистрибутивными решетками (их можно рассматривать чисто алгебраически) и конечными Т₀-пространствами. Это показывает, что в конечном случае имеется единство (взаимоопределяемость) порядковой, алгебраической и топологической структур.

В математике существует порядковый подход (идея упорядоченности), при котором акцентируется внимание на порядковой структуре изучаемых объектов, на возможности их упорядочивания, и свойства объектов выражаются в терминах отношения порядка. Отметим и теоретико-решеточный способ (метод) мышления, когда математический объект исследуется с помощью решетки его подобъектов.

Остановимся также на фундаментальном понятии алгоритма. На обычном языке алгоритмом называется четко прописанная процедура действий, приводящая к результату через конечное число шагов. Это интуитивное описание алгоритма. Любой алгоритм применим к целому классу задач. Вспомним алгоритм Евклида нахождения НОД двух любых целых чисел или метод Гаусса решения произвольных систем линейных уравнений. Не имея строгого определения алгоритма, нельзя доказать алгоритмическую неразрешимость (отсутствие соответствующего алгоритма) математической проблемы. В качестве примера рассмотрим десятую проблему Гильберта о существовании алгоритма, выясняющего разрешимость в целых числах любого диофантова уравнения. Диофантовоуравнение — это алгебраическое уравнение с целыми коэффициентами, т. е. приравненный к нулю многочлен от нескольких неизвестных с целыми коэффициентами. Отсутствие такого алгоритма доказал российский математик Ю. В. Матиясевич в 1970 году [343].

Строгие определения («уточнения») понятия алгоритма впервые дали американский математик Эмиль Пост и Тьюринг (машина Тьюринга) в 1936 году. Их конструкции заложили теоретическую основу ЭВМ. В дальнейшем свои уточнения понятия алгоритма предложили А. А. Марков (нормальный алгоритм), А. Н. Колмогоров и другие. Существует целый ряд уточнений понятия алгоритма; важную роль играют рекурсивные функции (разновидность вычислимости). Оказалось, что все известные уточнения понятия алгоритма эквивалентны между собой. Это свидетельствует в пользу тезиса Черча: класс функций, вычислимых с помощью алгоритма в интуитивном смысле, совпадает с классом частично рекурсивных функций. Относительно любого уточнения понятия алгоритма можно высказать аналогичный принцип. Тезис Черча нельзя доказать; это философское утверждение. Заметим, что в одну сторону тезис Черча не вызывает сомнений — ясно, что строгая алгоритмическая вычислимость является и вычислимостью в интуитивном смысле. Сейчас теория алгоритмов — развитая самостоятельная область математики, тесно связанная с математической логикой, с конструктивной математикой.

В современной математике часто встречается понятие многообразия, имеющего в разных дисциплинах различный смысл: многообразие универсальных алгебр; многообразие в теории моделей; топологическое, аналитическое и дифференцируемое многообразия. Многообразием универсальных алгебр называется класс всех алгебр одной и той же сигнатуры, удовлетворяющих некоторой фиксированной системе тождеств. Отметим многообразия полугрупп, групп, абелевых групп, колец, решеток. По теореме Биркгофа (американский алгебраист Гарретт Биркгоф, один из основателей современной теории решеток) класс универсальных алгебр образует многообразие тогда и только тогда, когда он замкнут относительно взятия подалгебр, гомоморфных образов и произвольных прямых произведений. Отсюда следует, что класс всех полей не является многообразием. В теории универсальных алгебр изучаются также квазимногообразия — классы алгебр, задаваемые условными тождествами (квазитождествами).

Очень интересно, что к числу понятий Гильберт относил и удачные математические обозначения.