Спектральный критерий устойчивости для систем

Доказанные нами теоремы 27.2−27.4 и наше умение находить фундаментальную систему решений для систем с постоянными коэффициентами позволяют нам полностью исследовать устойчивость таких систем.

Теоремы об общем решении 21.1−21.6 систем с постоянными коэффициентами дают нам исчерпывающие сведения о фундаментальной системе решений.

Если Л вещественное простое собственное значение, то соответствующее решение имеет вид

где h фиксированный вектор. Понятно, что зависимость от t определяется исключительно знаком Л. Если Л 0. то решение стремится к бесконечности. Сведем это в табличку

В случае кратною вещественною собственного значения у нас возможны два варианта: когда этому, А соответствуют только собственные вектора (без присоединенных) в этом случае решение имеет такой же вид. что и в случае простого А. с теми же «последствиями¹', то есть выводами о поведении решений. Второй вариант несколько хуже: в этом случае появляются решения вида

где P (t) некоторый векторный полином. Что это меняет? При, А > 0 и при, А < 0 по большому счету, ничего рост/убывание экспоненты подавляет любую индивидуальность полинома. Каким бы он ни был, произведение экспоненты на полином стремится к нулю, если показатель экспоненты отрицателен, и стремится к бесконечности, если он положителен. А вот в случае, А = 0 вот тут полином и начинает играть свою роль. Если показатель равен нулю значит, экспоненты просто нет, а полином стремится к бесконечности (если только ею степень ненулевая). И это изменяет среднюю строку в нашей табличке вместо ограниченности там появляется стремление к бесконечности. Итак, для случая кратных собственных значений получаем:

Перейдем теперь к случаю комплексных, А = а±г (3. Пусть для начала, А простое собственное значение. Здесь форма решения тоже известна:

где hug некоторые постоянные вектора. Что мы видим здесь с точки зрения ограниченности или неограниченности? Постоянные вектора.

''Здесь везде под «ограничено» подразумевается также и «не стремится к нулю» .

ограничены, косинусы и синусы тоже^[1]. Остается… опять же экспонента. Но теперь нас будет интересовать не само собственное значение, а только то, что оказалось в показателе экспоненты, число а. Получаем, что.

И, наконец, в случае кратных комплексных Л мы получаем еще одну табличку:

Ну, а теперь попробуем собрать результаты всех таблиц воедино. Прежде всего, хотелось бы единым образом назвать показатель экспоненты (ибо от него все зависит). Он равен Л, когда Л вещественное, и равен а, когда, А = а±г/? комплексное. Но это же просто вещественная часть числа А! Итак, везде дальше мы будем говорить о Re А.

Резюмируем. Для асимптотической устойчивости, согласно теореме 27.3, необходимо и достаточно, чтобы все решения стремились к нулю. Как видно из наших таблиц, для этого необходимо и достаточно, чтобы для всех собственных значений их показатели были отрицательны: Re Aj < 0.

Для устойчивости (простой, не асимптотической) необходимо и достаточно, в силу теоремы 27.2, чтобы все решения были ограничены. Для этого возможны два варианта: либо все RcAj < 0, либо некоторые из них равны нулю, но при этом у них нет присоединенных векторов.

И, наконец, для неустойчивости необходимо и достаточно существование либо собственного значения с Re Aj > 0, либо с нулевой вещественной частью, но чтобы при этом ему соответствовали присоединенные вектора.

Таким образом, мы получили следующую теорему.

Теорема 27.5 Для устойчивости линейной системы с постоянными коэффициентами, необходимо и достаточно, чтобы вещественные части всех собственных: значений матрицы были неположительны, а тем собственным иначе, пням, у которых вещественная часть нулевая, не соответствовало ни одного присоединенного вектора.

Для асимптотической устойчивости необходимо и достаточно, чтобы вещественные чисти всех собственных значений матрицы были отрицательны.

Для неустойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы хотя бы одно ее собственное значение имело положительную вещественную часть либо хотя, бы одно собственное значение имело нулевую вещественную часть и ему соответствовали не только собственные, но и присоединенные вектора.

Эта теорема называется спектральным, критерий устойчивости. Оказывается, для того, чтобы решить, устойчива система с постоянными коэффициентами или нет, нам не надо ее решать^[2]. Достаточно только найти собственные значения. Ну, а в тех редких случаях, когда они оказались с нулевой вещественной частью выяснить, есть ли присоединенные вектора (их даже находить не надо, достаточно сопоставить ранг соответствующей матрицы А — XI с кратностью собственного значения). Поскольку практически вся информация об устойчивости оказывается заложенной в спектре матрицы^[3], критерий и получил название спектрального.

• [1] 'Кстати, эго не мелкий и не глупый «опрос почему непрерывная периодическаяфункция ограничена?
• [2] Замечательный факт нам не надо решать систему.. только потому, что мыумкам ее решать. Это, кстати, нередкое явление в математике: именно потому, чтомы научились что-то хорошо делать именно поэтому мы можем не делать того, чему мы научились.
• [3] Напомним, ч то в алгебре спектром матрицы назывался набор всех ее собственныхзначений.