Соединения с повторениями

Перестановками с повторениями называются перестановки из п элементов, в каждую из которых входит п_{ элементов а_у п₂ элементов Ь, …, n_k элементов /, где п = п_х + п₂ + + … + п_к. Число перестановок с повторениями вычисляется по формуле.

Пример 5.14. Сколькими способами можно переставить буквы в слове «математика»?

В слове «математика» есть повторяющиеся буквы: м — 2 раза, а — 3 раза, т — 2 раза, а также е — 1 раз, и — 1 раз, к — 1 раз. Порядок расположения элементов имеет значение (это очевидно, гак как если переставить местами две буквы, то получатся разные слова) и все элементы используются, следовательно, это перестановка с повторениями:

Таким образом, в слове «математика» можно переставить буквы 151 200 способами.

Сочетания из п элементов, в каждое из которых входит т элементов, причем один и тот же элемент может повторяться в каждом сочетании любое число раз, но не более т, называются сочетаниями с повторениями. Число сочетаний с повторениями вычисляется по формуле.

Пример 5.15. Па почте продаются открытки 10 сортов. Сколько вариантов существует для покупки 12 открыток?

Порядок расположения элементов не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как открытки в наборе могут повторяться, то это сочетание с повторениями.

Таким образом, из 10 открыток можно выбрать набор из 12 штук 293 930 способами.

Размещениями с повторениями из п элементов по к элементов называются упорядоченные множества, каждое из которых содержит к необязательно различных элементов из данного множества п элементов. Число размещений с повторениями вычисляется по формуле.

Пример 5.16. В стену здания вмонтированы восемь гнезд для флажков. В каждое гнездо вставляется либо голубой, либо красный флажок. Сколько различных случаев распределения флажков на здании.

Так как порядок расположения элементов важен и не все элементы используются в данном соединении, то это размещение. Л так как всего восемь гнезд, а флажков два вида (голубой и красный), то они будут повторяться, т. е. это размещение с повторением:

Таким образом, существует 256 способов украсить здание с восьмью гнездами флажками двух цветов.

Если имеются ограничения на количество разных предметов, которые можно помещать на позиции, то число размещений рассчитываться, но формуле.

Пример 5.17. В эстафете на 100, 200, 400, 800 м на первую позицию тренер может выставить одного из трех бегунов, на вторую — одного из пяти, на третью — одного из шести, на четвертую — единственного бегуна (на каждую позицию выставляются разные бегуны). Сколько вариантов расстановки участников эстафетного забега может составить тренер?

В соответствии с формулой получаем, что число вариантов равно.

3 • 5 • 6 • 1 = 90.

Пример 5.18. Сколько различных трехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3?

Решение. На первое место в трехзначном числе можно выбрать любую цифру их трех (кроме нуля), после каждого такого выбора на второе место можно поставить любую цифру из оставшихся трех, на третье — из оставшихся двух. По правилу произведения получим: 3*3*2= 18 чисел.

Пример 5.19. Сколькими способами можно раскрасить диаграмму из четырех столбцов четырехцветной ручкой так, чтобы каждый столбец был окрашен в определенный цвет?

Решение. Порядок расположения элементов имеет значение и в диаграмме четыре столбца, а ручка тоже четырехцветная, т. е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение — перестановка. А так как окраска столбцов нс повторяется (в условии сказано, что столбцы имеют разные цвета), то это перестановка без повторения. Итак, Р_п = п * 4! = 1 • 2 • 3 • 4 = 24.

Ответ: столбцы можно закрасить 24 способами.

Пример 5.20. Имеется 5 кружков — 3 белых и 2 черных. Сколько различных узоров можно получить, располагая кружки в ряд?

Решение. Порядок расположения элементов имеет значение и в узоре 5 кружков, т. е. все элементы присутствуют в соединении, следовательно, это соединение — перестановка. А так как окраска кружков повторяется (в условии сказано, что 3 белых и 2 черных), то это перестановка с повторением. Итак,.

Ответ: узор можно составить 10 способами.

Пример 5.21. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнить перевод с любого из пяти языков на любой из пяти языков?

Решение. Порядок имеет значение (так как русско-английский и англо-русский словари различны) и не все элементы присутствуют в соединении (а только 2 из 5), значит, это размещение. Так как языки различны, то это размещение без повторения. Итак:

Ответ: надо составить 20 словарей.

Пример 5.22. Семиклассники написали контрольную работу. Возможные оценки 2,3,4, 5. Сколько вариантов расстановки оценок в журнале, если в списке 10 учеников?

Решение. Порядок имеет значение, и не все элементы присутствуют в соединении, значит, это размещение. Так как оценки могут повторяться, то это размещение с повторением. Итак:

Ответ: может быть 1 048 576 различных комбинаций оценок.

Пример 5.23. 12 человек играли в городки. Сколькими способами они могут разбиться на команды по 4 человека в каждой?

Решение. Порядок расположения игроков в команде не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как игроки нс повторяются (все члены команды разные люди), то эго сочетание без повторения. Итак:

Ответ: игроки могут разбиться на команды, но 4 человека в каждой 495 способами.

Пример 5.24. На уроке технологии учитель предложил школьникам выбрать для поделки 10 листов цветной бумаги из предложенных 6 цветов. Сколько вариантов выбора есть у учеников (наборы, отличающиеся лишь расположением листов цветной бумаги на парте, считать одинаковыми)?

Решение. Порядок расположения листов цветной бумаги на парте не имеет значения, следовательно, это сочетание. А так как цвета повторяются, то это сочетание с повторением. Итак:

Ответ: выбрать цветную бумагу для поделки можно 3003 способами.

Пример 5.25. В группе 25 студентов, из которых 5 отличников, 11 хорошистов и остальные троечники. Сколькими способами можно выбрать группу для выполнения лабораторной работы, состоящую из 3 хорошистов, 1 отличника и 1 троечника.

Решение. Сначала узнаем, сколькими способами можно выбрать трех хорошистов из 11 человек. Порядок расположения студентов нс важен, значит, это сочетание. А так как люди в группе нс повторяются, то это соединение — сочетание без повторения. Итак,.

" ^ П! 91 011 _4СГ

одного хорошиста можно выбрать Cfj = = = loo спосо;

о !• о! 1−2-3.

бами. Аналогично рассуждая, приходим к тому, что одного отлич- «1 5!

ника можно выбрать ^{= =} способами и одного троечника можно выбрать^{9 = =} ® способами. Так как команда для выполнения лабораторной работы выбирается одновременно, т. е. 5 хорошистов, затем 1 отличник, затем 1 троечник, то, применив правило произведения, получим:

С?г С5 ‘ Сэ = 165 • 5 • 9 = 7425 способами.

Ответ: группу для выполнения лабораторной работы можно составить 7425 способами.

Пример 5.26. Девочки на уроке груда приготовили пирожные и пригласили на чай трех мальчиков. Имеется 4 чашки, 5 блюдец, 6 ложек (все чашки, блюдца, ложки различны). Сколькими способами можно накрыть стол к чаю на трех человек, если каждый получает 1 чашку, 1 блюдце и 1 ложку.

Решение. Выберем для 3 человек чашки из 4 имеющихся. Порядок расположения элементов имеет значение, и не все элементы входят в соединение, значит, это размещение. Но так чашки не повторяются, то это размещение без повторения. Итак, з 4!

из 4 чашек 3 можно выбрать Ал = ——— = 1 •2•3•4 = 24 способами.

(4−3)!

Аналогично рассуждая, получим, что из 5 блюдец 3 можно выбрать о 5!

At = _/Р. *? = 3 • 4 • 5 = 60 способами, а из 6 ложек 3 можно выбрать (э-3)!

з б!

Лб = ——— = 4−5-6 = 120 способами. Так как блюдце, чашка (6−3)!

и ложка входят в набор одновременно, то стол можно накрыть Л| • Л| • Л| = 24 • 60 • 120 = 172 800 способами.

Ответ: стол можно накрыть 172 800 способами.