Введение. 
Численные методы. 
Верификация алгоритмов решения систем со случайной структурой

Задачи вероятностного анализа систем со случайной структурой разнообразны. Например, оценка вероятности нахождения системы в каждом из возможных состояний, определение среднего времени перехода из одного состояния в другое и дисперсии этого времени; определение распределения или вероятностных числовых характеристик всех или части фазовых координат. Исследование систем со случайной структурой сложнее соответствующих систем с неизменяемой структурой. Это обусловлено тем, что возникает дополнительный случайный фактор изменения структуры системы. Сложность получаемых моделей затрудняет аналитическое исследование решений таких систем. Кроме того, для получения некоторых вероятностных характеристик решения, необходимых на практике, слабо развиты аналитические методы. В этих условиях на первый план стали выходить численные методы.

В учебном пособии «Построение алгоритмов статистического моделирования систем со случайной структурой» Т. А. Авериной [31] построены численные методы решения стохастических дифференциальных уравнений, алгоритмы моделирования неоднородного пуассоновского точечного ноля, а также статистические алгоритмы решения систем со случайной структурой. В данном учебном пособии проводится верификация построенных алгоритмов и сравнение их с известными алгоритмами на решении практических задач.

Первая глава посвящена верификации алгоритмов моделирования решений СДУ и пуассоновского ансамбля. В параграфе 1.1 проведен сравнительный анализ рассмотренных в [31] методов решения СДУ и известных численных методов решения СДУ на двумерных системах СДУ с линейным сносом. Сравнение численных методов проводилось по точности вычисления в нуле значений корреляционной функции стационарного решения и времени счета. Наиболее пригодными для решения рассматриваемых тестов оказались асимптотически устойчивые методы из рассмотренного семейства, не требующие вычисления производных. При решении алгоритмом переменного шага RKFSDE с увеличением задаваемой точности вычислений наблюдалось уменьшение шага интегрирования и увеличение точности вычисления. В параграфе 1.2 с помощью рассмотренного в [31] алгоритма переменного шага RKFSDE просчитана задача анализа и синтеза автоматического управления стохастической нелинейной системой при квадратическом обобщенном критерии качества без ограничений на вектор управления. Здесь же рассмотрен один из возможных способов приближенного решения задачи синтеза оптимального управления нелинейной системой — оптимизация на скользящем интервале, и продемонстрированы особенности поведения задачи Коши, возникающие в теории автоматического управления, и трудности при их численном решении. В параграфе 1.3 рассматриваются вопросы численного анализа стохастических автоколебательных систем с помощью построенного алгоритма в [31]. Исследовалось влияние случайных возмущений на динамические системы. Оценивались математическое ожидание, ковариационная матрица, корреляционная функция, плотность распределения вероятностей, спектральная плотность. В параграфе 1.4 на решении конкретной задачи с растущей дисперсией проведена верификация предложенного в [31] способа решения неустойчивой системы СДУ. Результаты численных экспериментов демонстрируют значительное улучшение точности оценки функционалов от решения СДУ при небольших объемах выборки.

В параграфе 1.5 проведен параметрический анализ устойчивости линейного осциллятора с мультипликативным шумом, заданного стохастическим дифференциальным уравнением в смысле Ито второго порядка. Здесь же исследован вопрос численного решения осциллирующей системы для различных режимов устойчивости различными численными методами. Показано, что предпочтительно использовать устойчивые методы из семейства, рассмотренного в [31], и алгоритм переменного шага RKFSDE. Эти методы дают реальную картину устойчивости при относительно большом шаге.

В параграфе 1.6 исследуются вопросы точности алгоритмов статистического моделирования при решении краевых задач для эллиптических уравнений с помощью численных методов решения СДУ с использованием вероятностного представления. Исследована проблема оптимального (согласованного) выбора параметров численного метода решения СДУ.

В параграфе 1.7 с помощью построенных в [31] алгоритмов моделирования пуассоновской меры просчитана линейная система СДУ с пуассоновской составляющей, для которой найдены аналитические выражения для вероятностных характеристик решения. Оценивалась точность вычисления первых двух моментов и корреляционных функций. В параграфе 1.8 проведен сравнительный анализ алгоритмов моделирования пуассоновских ансамблей и показана эффективность построенных методов при моделировании пуассоновских процессов и пуассоновской меры. Здесь также проведено сравнение метода «максимального сечения» и его модификации при использовании различных датчиков случайных чисел. Результаты численного моделирования демонстрируют уменьшение трудоемкости вычислений при использовании модифицированного метода «максимального сечения». Статистическое соответствие оценок, полученных обоими алгоритмами, является дополнительным критерием удовлетворительности используемых генераторов псевдослучайных чисел. Результаты главы 1 опубликованы в работах [1,14,16,30,32,35−38,148,149,160,161,165].

Вторая глава данного учебного пособия посвящена проверке алгоритмов моделирования систем со случайной структурой. В параграфе.

2.1 на системах со случайной структурой с распределенными независимыми переходами проведены численные испытания статистического алгоритма моделирования систем с распределенными переходами, построенного в четвертой главе [31]. Численные расчеты демонстрируют высокую точность оценки вероятностных характеристик решения.

В параграфах 2.2−2.3 рассмотрены задачи автоматического управления, описываемые с помощью систем со случайной структурой с распределенными переходами. Аналитическое решение для таких систем можно найти лишь в исключительных случаях. Поэтому рассматриваемые системы просчитаны построенным статистическим алгоритмом и спектральным методом, проведено сравнение полученных результатов. В частности, рассмотрена задача анализа систем управления ансамблем траекторий с учетом случайного изменения структуры, связанная с актуальностью разработки и применения малых искусственных спутников стандарта CubeSat (наноспутников и пикоспутников). Параметры статистического алгоритма выбирались согласно условной оптимизации статистического алгоритма. Оценки метода статистического моделирования являются асимптотически (по h —> 0) несмещенными, этим самым и обеспечивая контроль спектрального метода.

В параграфе 2.4 с помощью построенного статистического алгоритма исследована задача о влиянии степени приоритета па качество управления системой с разделением времени с автономным управлением при экспоненциальном и эрланговском (s-го порядка, s = 2,3) законе распределения интервалов обслуживания. Оценивались первые два момента и маргинальные плотности ошибки управления. Показано, что при экспоненциа_чтьном и эрланговском законе управления ошибки незначительно отличаются друг от друга. А рассмотренный алгоритм одинаково хорошо считает, требуя незначительных исправлений при моделировании времени обслуживания.

В параграфе 2.5 верификация статистического алгоритма проведена на системах с условной марковской случайной структурой при распределенных переходах. Исследовались точность вычисления распределения предложенным алгоритмом и влияние на вид распределения зависимости интенсивностей от вектора состояния системы.

В параграфе 2.6 проведена верификация построенного в параграфе 4.4 пособия [31] статистического алгоритма и его модификации на решении систем со случайным периодом квантования с частотной модуляцией.

В параграфе 2.7 рассмотрена задача управления полетом летательного аппарата с помощью комбинированной системы самонаведения со случайной структурой. Летательным аппаратом может быть самолет, ракета, космический аппарат. Данная задача описана как система со случайной структурой с распределенными переходами.

В параграфе 2.8 проведено сравнение построенного алгоритма статистического моделирования систем со случайной структурой с сосредоточенными переходами с методом гауссовой аппроксимации.

В параграфе 2.9 с помощью алгоритма статистического моделирования динамических систем с сосредоточенными переходами проведен расчет системы с переменной структурой управления. Численные результаты демонстрируют хорошую работу алгоритма и позволяют анализировать изменение в поведении решения при наличии помех.

Результаты главы 2 опубликованы в работах [5,8,9,11,19,20,22,29, 45−48,152,166].

Проведенные численные испытания разработанных методов статистического моделирования демонстрируют их эффективность и преимущества по сравнению с другими численными алгоритмами.