Параллельность прямых на плоскости

Учение о параллельности прямых в курсе планиметрии можно разделить на следующие части:

— определение параллельных прямых;

— существование параллельных прямых;

— построение параллельных прямых;

— аксиома параллельных;

— свойства параллельных прямых;

— признаки параллельности прямых;

— применение изученной теории к решению задач.

Резко очерченных границ между выделенными частями не может быть, последний раздел, безусловно, присутствует во всех предыдущих.

Формулировки определений параллельных прямых в учебных пособиях, так же как и подходы к их изучению, различны.

В учебном пособии по геометрии А. В. Погорелова и в пробном учебнике Л. С. Атанасяна рассматриваются только два случая взаимного расположения прямых на плоскости: прямые пересекаются (имеют только одну общую точку) и прямые не пересекаются (совсем не имеют общих точек). Поэтому и определения параллельных прямых в этих пособиях даются соответствующим образом:

Опр. Две прямые называются параллельными, если они не пересекаются. параллельный планиметрия аксиома прямая Опр. Прямые на плоскости не имеющие общих точек называются параллельными.

Эти определения параллельных прямых на плоскости эквивалентны друг другу.

В учебном пособии по геометрии под редакцией А. Н. Колмогорова рассматриваются три случая взаимного расположения двух прямых на плоскости:

— прямые имеют только одну общую точку;

— прямые совпадают (все точки общие);

— прямые совсем не имеют общих точек.

Два последних случая входят в определение параллельных прямых в этом учебнике.

В процессе работы над определением параллельных прямых следует особо выделить, что они лежат в одной плоскости, и требовать этого постоянно от учащихся; такая работа поможет избежать нежелательных ошибок в дальнейшем при изучении соответствующих вопросов в курсе стереометрии. В качестве контр примера полезно наглядно показать прямые пространства, которые не лежат в одной плоскости, не имеют общих точек и не являются параллельными (скрещивающиеся прямые).

Таблица-1. Видовые отличия.

Вопрос о существовании параллельных прямых также решается неодинаково в имеющихся учебных пособиях. К примеру в учебнике А. В. Погорелова «Геометрия7−11» этот вопрос рассматривается следующим образом: рассматривается аксиома параллельных, а затем доказывается теорема, показывающая существование таких прямых.

Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Существование параллельных прямых обосновывается в школе двумя путями, а именно на основе центральной симметрии или на основе свойств углов, образованных при пересечении двух прямых третьей.

Доказательство теоремы везде ведется методом от противного. Однако предложения, на основе которых делается окончательный вывод, различны: в одних случаях это свойство двух различных прямых не иметь двух и более различных общих точек; в других случаях это свойство внешнего угла треугольника не быть меньшим или равным внутреннему углу этого треугольника, не смежному с ним. Доказательство теоремы опирается на представление учащихся о неограниченности и бесконечности прямой, что сопряжено с большими трудностями, связанными с потерей наглядности чертежа, противоречием правильным интуитивным представлениям учащихся.

Вследствие этого чертежу желательно уделить особое внимание при доказательстве теоремы, при изображении точки пересечения прямых желательно не делать изломов.

Теоремы — признаки параллельности прямых требуют тщательной методической разработки, их доказательство надо сопровождать соответствующими записями. В качестве примера рассмотрю соответствующую теорему по учебному пособию под редакцией А. Н. Колмогорова:

Теорема. «Если две прямые симметричны относительно некоторого центра, то они параллельны» .

Запись этой теоремы с ее доказательством может выглядеть следующим образом:

Признак параллельности прямых.

Дано: прямые, а и b, b=Z0(a).

Доказать: দb.

Доказательство (метод от противного).

1. Пусть, а и b различны и непараллельные, т. е. а и b имеют общую точку С.

2. С отлична от O, так как b и Z0(b)=a различны.

3. С и Z0(C)=C1 различны, так как С не совпадает с О.

4. C1 принадлежит прямым, а и b, так как С принадлежит этим прямым.

5. Прямые, а и b имеют две различные общие точки С и C1, что невозможно.

6. Предположение, что, а и b непараллельные, неверно. Значит, а и b параллельны.

7. Если, а и b центрально-симметричны и совпадают то они параллельны, по определению.

Раздел об углах, образующихся при пересечении двух прямых третьей.

Рисунок к введению этих понятий не должен отражать частных случаев: две прямые не должны изображаться параллельными, а секущая не должна быть к ним перпендикулярной (рис-2).

Прямые, а и b разбивают плоскость на три части: две внешние и одну внутреннюю.

Из восьми углов, образующихся при пересечении прямых, а и b прямой с, некоторые лежат по одну сторону от прямой с, другие — по разные стороны от прямой с. Некоторые из углов, расположенных по разные стороны от прямой с, получили название накрест лежащих;

некоторые углы, расположенные по одну сторону от прямой с, получили название или односторонних или соответственных. В зависимости от того, в каких из названных частей расположены углы, различают внутренние и внешние накрест лежащие углы (3 и 6, 4 и 5, 1 и 8, 2 и 7), внутренние или внешние односторонние углы (4 и 6, 3 и 5, 1 и 7, 2 и 8), соответственные углы (2 и 6, 1 и 5, 4 и 8, 3 и 7).

Большую роль в изучении параллельных прямых играет аксиома параллельных прямых.

В имеющейся учебной литературе приведены различные формулировки аксиомы параллельных:

• 1. Аксиома. Через данную точку проходит не более одной прямой, параллельной данной прямой.
• 2. Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной.

3.Аксиома. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной .

Требование, чтобы точка не лежала на данной прямой, связано с тем, что в этих учебных пособиях совпадающие прямые не считаются параллельными и вообще не рассматриваются. Надо отметить, что в третьем случае аксиома является более сильной, чем в первом и во втором случае. Утверждение, что через точку проходит только одна прямая, параллельная данной прямой, в первом случае можно доказать:

" Через данную точку можно провести не более одной прямой, параллельной данной" - на основе аксиомы;

" Через данную точку можно провести одну прямую, параллельную данной" - на основе теоремы существования и построения.

Следовательно, через данную точку проходит только одна прямая, параллельная данной прямой. Эти рассуждения приводятся не во всех учебных пособиях для средней школы.

В процессе изучения параллельности прямых весьма важно обращать внимание на раскрытие роли аксиомы параллельности при построении темы. При доказательстве соответствующих теорем, где явно используется аксиома параллельных, этот пункт доказательства желательно особо выделить.

Теорема. Две прямые, параллельные третьей, параллельны. .

Дано: а, b и с — прямые, দс и b¦¦с.

Доказать: দb.

Доказательство (рис. 3).

1. Пусть прямые, а и b не параллельны, т. е. а и b пересекаются в некоторой точке С.

2. Через точку С проходят две прямые, а и b, параллельные прямой С, что противоречит аксиоме параллельных.

3. Предположение, что прямые, а и b не параллельны, неверно. Значит, দb. Ч.т.д.

При изложении курса геометрии большое значение имеют как теоремы — признаки параллельности, так и теоремы, им обратные.

Достаточно доказать один из признаков параллельности прямых, основанных на углах, образованных при пересечении двух прямых третьей, а остальные признаки параллельности свести к уже доказанному.

Особый интерес представляет методика работы над теоремами — признаками параллельности прямых в соответствии с учебным пособием по геометрии А. В. Погорелова и пробным учебником по геометрии Л. С. Атанасяна (Рис-4):

Дано: с — секущая для прямых, а и b;

угол 1 и угол 2 — внутренние накрест лежащие; 1=2.

Доказать: দb.

Доказательство: (метод от противного).(Таблица-2).

Таблица-2. Доказательства признака параллельности прямых.

Перед доказательством признаков параллельности прямых необходима специальная работа по организации повторения тех вопросов, которые составляют основу доказательства, а именно: Организация повторения вопросов которые составляют основу доказательства признака параллельных прямых.(Таблица-3).

Таблица-3. Организация повторения вопросов которые составляют основу доказательства признака параллельных прямых.

Повторение проводится по рисункам, при этом предполагается их варьирование во избежание частных случаев.

По содержанию задачи по этой теме можно разделить на три группы:

1) Задачи на прямое применение аксиомы параллельности:

" Доказать, что две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны" ;

2) Задачи на применение признаков параллельности прямых:

" Доказать, что биссектрисы соответственных углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей прямой, параллельны" ;

3) Задачи на применение теорем, обратных признакам параллельности прямых: «Через вершину, А треугольника АВС проведена прямая, параллельная противоположной стороне его. Зная углы треугольника, вычислить углы, образовавшиеся при вершине А» .