Решение логических задач с помощью рассуждений

Задача 1. Классный руководитель пожаловался директору, что у него в классе появилась компания из трех учеников, один из которых всегда говорит правду, другой всегда лжет, а третий говорит через раз то ложь, то правду. Директор знает, что их зовут Коля, Саша и Миша, но не знает, кто из них правдив, а кто — нет. Однажды все трое прогуляли урок астрономии. Директор знает, что никогда раньше никто из них не прогуливал астрономию. Он вызвал всех троих в кабинет и поговорил с мальчиками. Коля сказал: «Я всегда прогуливаю астрономию. Не верьте тому, что скажет Саша». Саша сказал: «Это был мой первый прогул этого предмета». Миша сказал: «Все, что говорит Коля, — правда». Директор понял, кто из них кто. Определите, кто «говорит всегда правду», «всегда лжет», «говорит правду через раз».

Решение. Есть «точная» информация, которая не подвергается сомнению: все трое прогуляли урок астрономии в первый раз (*).

Запишем высказывания мальчиков.

• • Коля. 1. Я всегда прогуливаю астрономию. 2. Саша врет.
• • Саша. Я в первый раз прогулял астрономию.
• • Миша. Коля говорит правду.

Известно, что один из них все время лжет, второй — говорит правду, а третий говорит правду через раз (т.е. из двух его высказываний одно истинно, а второе — ложно; если у нас есть только одно высказывание «полулжеца», оно может быть как истинным, так и ложным). Сопоставив первое высказывание Коли и высказывание Саши с «точной» информацией (*), сразу определяем, что тут Коля соврал, а Саша сказал правду; это значит, что второе высказывание Коли тоже неверно, поэтому мальчик Коля всегда лжет.

Тогда один из оставшихся, Саша или Миша, говорит правду всегда, а второй — через раз.

Мишино высказывание неверно, поскольку мы уже определили, что Коля лжет; это значит, что Миша не всегда говорит правду, он — «полулжец». Тогда получается, что Саша всегда правдив и, действительно, его высказывание верно, таким образом, верный ответ: Саша — правдив, Коля — лжец, Миша — «полулжец».

Задача 2. В состав инициативной группы класса входят Рома, Сергей и Виктор. На обсуждении распределения обязанностей с классным руководителем были высказаны предположения, что старостой будет назначен Рома, Сергей не будет заместителем, а Виктор будет утвержден редактором, но старостой не будет. Позже выяснилось, что только одно из этих четырех утверждений оказалось верным. Перечислите, кто занял должности старосты, заместителя и редактора.

Решение. Запишем высказывания (табл. 4.27).

Таблица 4.27

Рассуждения для решения задачи 2

Сразу заметим, что высказывание 3 (Виктор — редактор) неверно, потому что иначе оказывается верным и высказывание 4, чего не может быть, но условию (верно только одно высказывание).

Если Рома — староста (высказывание 1 верно), то остальные высказывания — неверны; поэтому Сергей — заместитель (из 2) и Виктор — не редактор (из 3), а староста; но тогда получается, что некому быть редактором и в классе 2 старосты; значит, это предположение неверно.

Теперь предположим, что Сергей — не заместитель; отсюда следует, что Рома — не староста (из 1), а Виктор — староста (из 4) и не редактор (из 3); это может быть, если Рома — заместитель, а Сергей — редактор.

На всякий случай проверим последний вариант — предположим, что Виктор — не староста (высказывание 4 истинно, а остальные — ложны); сразу получаем, что Виктор — не редактор (из 3), Сергей — заместитель (из 2), а Рома — не староста (из 1). В этом случае два претендента на должность заместителя (Сергей и Виктор), а старосты нет вообще, поэтому это неверный вариант. Таким образом, правильный ответ: Виктор — староста, Рома — заместитель, а Сергей — редактор.

Задача 3. Преподаватель проверил работы трех учащихся, но не взял их с собой на занятия. Учащимся он сказал: «Вы все получили разные оценки — 3, 4, 5. У Васильева нс 4, у Сергеева не 5, а вот у Алексеева, по-моему, 4». Впоследствии оказалось, что преподаватель верно высказался об оценке только одного учащегося. У кого какая оценка?

Решение. Запишем рассуждения в таблицу (табл. 4.28).

Таблица 4.28

Рассуждения для решения задачи 3.

Таким образом, Васильев — 4, Сергеев — 3, Алексеев — 5.